📖 目录1.2 概率定义 →

1.1 随机事件及其运算 ⭐

一、基本概念

随机试验 EE 的三条件
  1. 可在相同条件下重复进行；
  2. 所有可能结果事先已知且不止一个；
  3. 每次试验前无法预知哪个结果。
样本空间 / 样本点 / 事件
典型样本空间

二、事件的七种关系运算（必背）

名称记号含义
包含A⊂BA\subset BAA 发生必导致 BB 发生
相等A=BA = BA⊂BA\subset B 且 B⊂AB\subset A
和（并）A∪BA\cup B至少一个发生
积（交）AB=A∩BAB = A\cap B同时发生
差A−B=ABˉA-B = A\bar BAA 发生 BB 不发生
互斥AB=∅AB = \varnothing不能同时发生
对立Aˉ\bar A（AAˉ=∅,A∪Aˉ=ΩA\bar A=\varnothing,A\cup\bar A=\Omega）恰有一个发生
对立 vs 互斥：对立必互斥（AAˉ=∅A\bar A=\varnothing），但互斥未必对立（缺 A∪B=ΩA\cup B=\Omega 条件）。

三、运算律（必背！）

⭐ De Morgan 对偶律（最重要！）
A∪B‾=Aˉ∩Bˉ,A∩B‾=Aˉ∪Bˉ\overline{A\cup B} = \bar A\cap\bar B,\quad\overline{A\cap B} = \bar A\cup\bar B ⋃i=1nAi‾=⋂i=1nAˉi,⋂i=1nAi‾=⋃i=1nAˉi\overline{\bigcup_{i=1}^n A_i} = \bigcap_{i=1}^n\bar A_i,\quad\overline{\bigcap_{i=1}^n A_i} = \bigcup_{i=1}^n\bar A_i

可推广到可列。"对一组事件求否定 → 翻每项 + 反转交并"

满分笔记技巧：化简顺序：先对立 → 再互交 → 最后并/差。即先用 De Morgan 把所有补号往里推，再合并交集，最后处理并和差。

四、典型题型

题型 1：用 A,B,CA, B, C 表示复合事件（每年选择题）

必背模板：
极易混淆： 两者完全不同！前者只需漏一个就算；后者必须三个都没发生。每年选择题必出。

题型 2：化简事件

例：化简 AˉBˉ‾∪CAB\overline{\bar A\bar B}\cup CAB。
解

AˉBˉ‾=A∪B\overline{\bar A\bar B} = A\cup B（De Morgan）。ABC⊂A⊂A∪BABC\subset A\subset A\cup B，故

AˉBˉ‾∪ABC=(A∪B)∪ABC=A∪B\overline{\bar A\bar B}\cup ABC = (A\cup B)\cup ABC = A\cup B

结论：吸收掉 ABCABC，结果 =A∪B= A\cup B。

五、易错点清单

记忆口诀：

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

"恰 kk 个发生"通用模板

⭐ 三事件 A,B,CA, B, C
题型表达式
都发生ABCABC
都不发生AˉBˉCˉ=A∪B∪C‾\bar A\bar B\bar C = \overline{A\cup B\cup C}
不都发生ABC‾=Aˉ∪Bˉ∪Cˉ\overline{ABC} = \bar A\cup\bar B\cup\bar C
恰一个发生ABˉCˉ∪AˉBCˉ∪AˉBˉCA\bar B\bar C\cup\bar AB\bar C\cup\bar A\bar BC
恰两个发生ABCˉ∪ABˉC∪AˉBCAB\bar C\cup A\bar BC\cup\bar ABC
至少一个A∪B∪CA\cup B\cup C
至少两个AB∪AC∪BCAB\cup AC\cup BC
至多两个ABC‾\overline{ABC} = "至少一个不发生"

必背二级结论

  1. De Morgan：A∪B‾=AˉBˉ\overline{A\cup B} = \bar A\bar B；AB‾=Aˉ∪Bˉ\overline{AB} = \bar A\cup\bar B
  2. 差化积：A−B=ABˉ=A−ABA-B = A\bar B = A-AB
  3. 包含传递：A⊂B⇒Bˉ⊂AˉA\subset B\Rightarrow\bar B\subset\bar A
  4. 对立 vs 互斥：对立必互斥，反之未必
  5. 互斥的补不一定互斥：AB=∅AB = \varnothing 不蕴含 AˉBˉ=∅\bar A\bar B = \varnothing
  6. "恰 kk 个发生"的对称性：在 nn 事件中"恰 kk 个"和"恰 n−kn-k 个"的事件个数相同

速算与解题技巧

  1. 化简优先用 De Morgan："先对立 → 再互交 → 最后并/差"
  2. "不都" vs "都不"区分：写英文 not-all vs all-not
  3. "至少 kk" 用对立 "至多 k−1k-1"，往往更简洁
  4. 画文氏图辅助：复杂事件用三圆交叠图理解
  5. 事件互不相同时：AiAjA_iA_j 形如交集要逐一展开

常错"小坑"清单

🔥 章节强化：真题原型 + 必背 + 易错

📜 历年真题原型（事件表示 / 命题判断）

真题原型 1（23-24-2 题12 · 4 命题判正确个数）：判断下列命题正确的个数。
  1. P(AB∣A)≥P(AB∣A∪B)P(AB\mid A)\ge P(AB\mid A\cup B)
  2. P(A∣B)=1⇒P(Bˉ∣Aˉ)=1P(A\mid B)=1\Rightarrow P(\bar B\mid\bar A)=1
  3. ABˉ=AˉB⇒A=BA\bar B=\bar AB\Rightarrow A=B
  4. "A,BA,B 恰有一个发生"的概率 =P(A)+P(B)−2P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)
解

① A⊂A∪BA\subset A\cup B，分母变大则条件概率变小，故 P(AB∣A)≥P(AB∣A∪B)P(AB\mid A)\ge P(AB\mid A\cup B)，✓。

② P(A∣B)=1⇒B⊂A⇒Aˉ⊂Bˉ⇒P(Bˉ∣Aˉ)=1P(A\mid B)=1\Rightarrow B\subset A\Rightarrow\bar A\subset\bar B\Rightarrow P(\bar B\mid\bar A)=1，✓。

③ 由 ABˉ=AˉBA\bar B=\bar AB，两边求并 A=A(B∪Bˉ)=AB∪ABˉ=AB∪AˉB=(A∪Aˉ)B=BA=A(B\cup\bar B)=AB\cup A\bar B=AB\cup\bar AB=(A\cup\bar A)B=B，✓。

④ 恰一个发生 =ABˉ∪AˉB=A\bar B\cup\bar AB，两项互斥，概率 =P(A)−P(AB)+P(B)−P(AB)=P(A)+P(B)−2P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-2P(AB)，✓。

结论：4 个全对，选 D。

真题原型 2（事件表示 · 每年选择题套路）：设 A,B,CA,B,C 为三事件，用运算表示"A,B,CA,B,C 中恰有一个发生"及"至少两个发生"。
解

恰有一个发生：ABˉCˉ∪AˉBCˉ∪AˉBˉCA\bar B\bar C\cup\bar AB\bar C\cup\bar A\bar BC（先选谁发生，其余取补，三项互斥求并）。

至少两个发生：AB∪AC∪BCAB\cup AC\cup BC（两两交的并，已自动含三个全发生的情形）。

其概率：恰一个 =P(A)+P(B)+P(C)−2[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+3P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-2[P(AB)+P(AC)+P(BC)]+3P(ABC)。

⭐ 必背块

核心运算律 / 判据
三事件"恰 kk 个"模板（背死）

⚠️ 易错点