1.2 随机事件的概率 ⭐

事件 $A$ 在 $n$ 次试验中发生 $m$ 次，频率 $f_n(A) = m/n$。大量重复时频率稳定于某常数 $p$，记 $P(A) = p$。

这是概率的"统计定义"。

$P$ 是 $\sigma$-代数到 $[0, 1]$ 的函数，满足：

1. 非负性：$P(A)\geq 0$
2. 规范性：$P(\Omega) = 1$
3. 可列可加性：$A_i$ 两两互斥 $\Rightarrow P\!\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i)$

• $P(\varnothing) = 0$
• $P(\bar A) = 1-P(A)$
• $A\subset B\Rightarrow P(A)\leq P(B)$，且 $P(B-A) = P(B)-P(A)$
• 一般差：$P(B-A) = P(B)-P(AB)$
• 有限可加性：$A_i$ 两两互斥 $\Rightarrow P(\bigcup A_i) = \sum P(A_i)$
• $0\leq P(A)\leq 1$

一般 $n$ 事件容斥：

条件：① 样本点有限；② 每个样本点等可能。则

• 有放回排列：从 $n$ 中取 $r$，$n^r$
• 无放回排列：$A_n^r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$
• 组合：$C_n^r = \dfrac{n!}{r!(n-r)!}$

$\Omega\subset\mathbb R^n$ 是几何区域（有限测度），$\omega$ 落入 $\Omega$ 中每点等可能。则

$\mu$ 是适当测度：长度、面积、体积。

• 有限等可能 → 古典概型：算 $M/N$
• 区域中均匀 → 几何概型：算 $\mu(A)/\mu(\Omega)$
• "至少一个发生" → 用对立：$1-P(\bar A_1\cdots\bar A_n)$
• 多事件交并 → 容斥

1. $P(\bar A) = 1-P(A)$（最常用）
2. $P(B-A) = P(B)-P(AB)$（一般差）
3. 加法公式：$P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(AB)$
4. 三事件容斥带 $+P(ABC)$
5. 抽签公平性：$a$ 难签 + $b$ 易签，每位 $P($难$) = a/(a+b)$
6. 生日问题：$n=23$ 时 $P($至少两人同生日$)\approx 0.507>1/2$
7. Buffon 投针：$P = 2l/(a\pi)$（$l$ = 针长，$a$ = 线距）
8. 配对问题：$P($至少一配对$)\to 1-1/e\approx 0.632$
9. 独立时 "至少一个发生"：$1-\prod(1-P(A_i))$

• 有序用排列 $A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}$；无序用组合 $\dbinom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$。
• 对立：$P(\bar A)=1-P(A)$；差：$P(A-B)=P(A)-P(AB)$。
• 单调性：$A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$，且 $P(B-A)=P(B)-P(A)$。
• 公理：非负 $P(A)\ge0$、规范 $P(\Omega)=1$、可列可加。