1.3 条件概率（全概率 + Bayes）| 概率统计

定义

设 $P(B) > 0$ ，事件 $B$ 已发生条件下 $A$ 发生的概率：

P(A\mid B) = \dfrac{P(AB)}{P(B)}

本质：条件概率把样本空间

\Omega

缩小为

B

（"重新归一化"）；

A

在新空间中的占比即

P(A\mid B)

。

条件概率也满足三公理

$P(\cdot\mid B)$ 本身是一个概率测度，所以下列性质在条件下也成立：

$P(\bar A\mid B) = 1 - P(A\mid B)$
$P(A\cup C\mid B) = P(A\mid B) + P(C\mid B) - P(AC\mid B)$
条件下的容斥公式

用途：题目给出"在 $B$ 条件下" 的概率时，可以放心用上面这些性质处理。

⭐ 乘法公式

P(AB) = P(B)P(A\mid B) = P(A)P(B\mid A)

推广到 $n$ 事件（ $P(A_1A_2\cdots A_{n-1}) > 0$ ）：

P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)\,P(A_2\mid A_1)\,P(A_3\mid A_1A_2)\cdots P(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1})

例 1（抽签的公平性，多年真题原型）：袋中

a

难签 +

b

易签。

n

人依次不放回抽。求第

k

人抽到难签的概率。

解（两种方法）

法 1（古典概型）：考虑所有 $a+b$ 个签的全排列，每个等可能。第 $k$ 位上是难签的方案数 = $a\cdot (a+b-1)!$ 。所以 $P = \dfrac{a\cdot (a+b-1)!}{(a+b)!} = \dfrac{a}{a+b}$ 。

法 2（递推）：记 $A_k$ ="第 $k$ 人抽难签"。 $P(A_1) = \dfrac{a}{a+b}$ 。

P(A_2) = P(A_1)P(A_2\mid A_1) + P(\bar A_1)P(A_2\mid\bar A_1) = \dfrac{a}{a+b}\cdot\dfrac{a-1}{a+b-1}+\dfrac{b}{a+b}\cdot\dfrac{a}{a+b-1} = \dfrac{a}{a+b}

归纳： $P(A_k) = \dfrac{a}{a+b}$ ，与 $k$ 无关。"先抽后抽都公平"。

⭐ 全概率公式

设 $\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}$ 是 $\Omega$ 的一个划分（两两互斥，且 $\bigcup_i B_i = \Omega$ ， $P(B_i) > 0$ ），则对任意事件 $A$ ：

P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A\mid B_i)

三步使用法：

验证 $\{B_i\}$ 是划分：两两互斥 + 并为 $\Omega$ （缺一不可）
列已知： $P(B_i)$ （先验）和 $P(A\mid B_i)$ （条件）
套公式：加权求和

例 2（保险公司，PPT 经典）：投保人分三类（按危险概率比

2:5:3

）："安全型"占 20%、"一般型"占 50%、"危险型"占 30%。年出险概率分别

0.05, 0.15, 0.30

。

任一投保人年内出险的概率？
已知出险，求是"危险型"的概率？

解

记 $A$ = "出险"， $B_1, B_2, B_3$ 为三类。验证：两两互斥（每人属一类）+ 并为全体（覆盖）。

(1) 全概率： $P(A) = 0.2\cdot 0.05 + 0.5\cdot 0.15 + 0.3\cdot 0.30 = 0.01 + 0.075 + 0.09 = 0.175$

(2) Bayes： $P(B_3\mid A) = \dfrac{0.3\cdot 0.30}{0.175} = \dfrac{0.09}{0.175}\approx 0.514$

先验 0.3 → 后验 0.514，反映"看到出险这条证据后，怀疑此人是危险型的程度增加"。

例 3（多源产品检验）：工厂三车间生产同种产品，产量比

4:3:3

，次品率分别

2\%, 3\%, 5\%

。任取一件检验。

取到次品的概率。
已知次品，求来自第一车间的概率。

解

设 $B_i$ = 来自车间 $i$ （ $i=1,2,3$ ）， $A$ = 次品。 $P(B_1)=0.4, P(B_2)=P(B_3)=0.3$ 。

(1) $P(A) = 0.4\cdot 0.02 + 0.3\cdot 0.03 + 0.3\cdot 0.05 = 0.008 + 0.009 + 0.015 = 0.032$

(2) $P(B_1\mid A) = \dfrac{0.4\cdot 0.02}{0.032} = \dfrac{0.008}{0.032} = 0.25$

先验 $P(B_1) = 0.4$ → 后验 0.25，"次品更可能来自后两个车间"。

⭐ Bayes 公式（贝叶斯定理）

同上设定， $P(A) > 0$ ，则

P(B_i\mid A) = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{j=1}^n P(B_j)P(A\mid B_j)} = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}

分子：单一路径 " $B_i \to A$ " 的贡献。

分母：所有路径总贡献 = 全概率公式。

必踩坑：Bayes 分母必须展开成全概率形式。直接写

P(A)

是过程不全（虽然结果对），多个真题答案要求展开计算。

题 ★★★★★ 23-24-2 第 13 题（三门高射炮，命中率最高的 Bayes 题）：甲乙丙三门炮独立射击，命中率

p_1=0.4, p_2=0.5, p_3=0.7

。摧毁规则：仅一门击中 → 摧毁概率 0.2；两门击中 0.6；三门全中 1。

求目标被摧毁的概率。
已知目标被摧毁，求恰两门击中的概率。

解（满分模板）

Step 1： 设 $B_k$ = "恰 $k$ 门击中"， $A$ = "被摧毁"。 $\{B_0, B_1, B_2, B_3\}$ 是划分。

Step 2： 算 $P(B_k)$ （关键：每一项是 3 种组合相加！）

$P(B_0) = 0.6\cdot 0.5\cdot 0.3 = 0.09$
$P(B_1) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.3 + 0.6\cdot 0.5\cdot 0.3 + 0.6\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.06 + 0.09 + 0.21 = 0.36$
$P(B_2) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.3 + 0.4\cdot 0.5\cdot 0.7 + 0.6\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.06 + 0.14 + 0.21 = 0.41$
$P(B_3) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.14$

验算 $\sum P(B_k) = 0.09 + 0.36 + 0.41 + 0.14 = 1$ ✓

Step 3： 全概率算 $P(A)$ ：

P(A) = 0\cdot 0.09 + 0.2\cdot 0.36 + 0.6\cdot 0.41 + 1\cdot 0.14 = 0 + 0.072 + 0.246 + 0.14 = 0.458

Step 4： Bayes 反推：

P(B_2\mid A) = \dfrac{P(B_2)P(A\mid B_2)}{P(A)} = \dfrac{0.41\cdot 0.6}{0.458}\approx 0.537

易错点：(1) $P(B_1)$ 和 $P(B_2)$ 都要枚举 3 种"哪门击中、哪两门未击中"的组合，不能漏；(2) Bayes 分母用 step 3 的结果 0.458，不要重算。

题 ★★★★★ 23-24-1 第 13 题（次品检验，标准 Bayes）：工厂三车间生产同种产品，产量比

4:3:3

，次品率分别

2\%, 3\%, 5\%

。

任取一件，求是次品的概率。
已知是次品，求来自第 1 车间的概率。

解

设 $B_i$ = 来自车间 $i$ ， $A$ = 次品。 $P(B_1) = 0.4, P(B_2) = P(B_3) = 0.3$ 。

(1) $P(A) = 0.4\cdot 0.02 + 0.3\cdot 0.03 + 0.3\cdot 0.05 = 0.008 + 0.009 + 0.015 = 0.032$

(2) $P(B_1\mid A) = \dfrac{0.008}{0.032} = 0.25$

先验 $P(B_1) = 0.4$ → 后验 0.25，说明"次品更可能来自后两个车间"。

例（医学诊断反直觉）：某病发病率 0.005，化验对患者阳性率 0.95，对健康人误诊率 0.04。求一阳性者真患病的概率。

解

P(D\mid T^+) = \dfrac{0.005\cdot 0.95}{0.005\cdot 0.95 + 0.995\cdot 0.04} = \dfrac{0.00475}{0.04455}\approx 0.107

测试看似很准（敏感性 95%，特异性 96%），但由于发病率低，阳性者真患病概率只有 10.7%。这是 Bayes 思维的经典演示——基率不能忽视。

⭐ 真题题 13 满分答题五步法

设事件：用 $A,B_i$ 明确标记"目标事件"和"原因划分"，定义清晰
验证划分：写一行 " $\{B_i\}$ 两两互斥且 $\bigcup B_i = \Omega$ "
列已知概率： $P(B_i)$ （先验）和所有 $P(A\mid B_i)$ （条件）
算 $P(A)$ ：套全概率公式，每项展开写（不要直接算最终数字）
反推 $P(B_k\mid A)$ ：分子单条路径，分母用 step 4 的结果

近 5 年真题"剧情"清单（题 13 反复用的几种背景）：

多源产品检验（3 个工厂 / 3 类原料）
信道传输错误（0/1 信号传输）
射击命中（多门炮 / 多个射手）
医学诊断（疾病 vs 健康，敏感性 vs 特异性）
多类抽样（保险三类 / 驾驶员三级）

不管剧情怎么变，解法完全一样——按五步走。

本节超纲常错（每年都有人栽）：

没验证 $\{B_i\}$ 是划分：更糟的是用了不互斥的"原因"（如 $B_1$ ="开火"， $B_2$ ="有目标"——这两个不互斥）
$P(B_i)$ 没穷尽：例如"恰一门击中"忘了 3 种组合相加
Bayes 分母直接写 $P(A)$ ：扣过程分；要展开成全概率形式
$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 弄反：典型"基率谬误"，医学题最常见
条件下又用乘法公式时：每一步都要加 $|B$ ，不要丢条件
验证不归一：算完 $P(B_k)$ 后忘了用 $\sum P(B_k) = 1$ 检查

记忆口诀：

"先全概，后 Bayes，分母就是全概率"
"分类讨论 → 加权平均 → 反推路径"
看到"已知 / 在...条件下，求..."就上 Bayes

条件概率的三大公式总览（笔记原话）：

乘法公式： $P(AB) = P(B)P(A\mid B)$ 与 $P(A_1\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2\mid A_1)\cdots P(A_n\mid A_1\cdots A_{n-1})$
全概率公式：用于"已知各种路径，求总概率"
Bayes 公式：用于"已知结果，反推路径"

典型几何概型 + 条件概率联考：

$(X,Y)$ 在单位正方形 $[0,1]^2$ 均匀分布。求 $P(X<1/2\mid X+Y<1)$ 。

$P(X+Y<1)=1/2$ （下三角形面积）； $P(X<1/2, X+Y<1)$ = 在三角形内截取 $x<1/2$ 的区域面积。

条件概率 = 分子面积 / 分母面积，最终 $= 3/4$ 。

套路一览（按真题剧情）

⭐ 5 种剧情 → 同一套路

剧情	$B_i$ 划分	$P(A\mid B_i)$ 类型
三类产品 / 多源工厂	来自工厂 $i$ （占比 $\alpha_i$ ）	次品率 $p_i$
三类人 / 多类投保	身份类别（占比 $\alpha_i$ ）	事件率 $p_i$ （出险/事故）
多门炮 / 多个射手	"恰 $k$ 门击中"（枚举组合相加）	条件下摧毁率
信道传输	原始信号 0/1（先验 $p_0, p_1$ ）	转移概率
医学诊断	患病 / 健康	敏感性 / 1 - 特异性

必背二级结论

抽签公平性： $n$ 人不放回抽 $a$ 难签 + $b$ 易签，每人抽到难签的概率都是 $a/(a+b)$ ，与位置无关
"恰 $k$ 门击中"组合数（独立异概率）： $P(B_k) = \sum_{|S|=k}\prod_{i\in S}p_i\prod_{j\notin S}(1-p_j)$
"条件概率也是概率"： $P(\cdot\mid B)$ 满足三公理，可用容斥、对立
Bayes 几何意义：分子是"路径权重"，分母是"全路径总和"
独立 → $P(A\mid B) = P(A)$ （条件不改变概率）
Bayes 在医学诊断中的反直觉：发病率低时，即便测试很准，阳性者真患病概率也很低（基率谬误）

速算与解题技巧

验证 $\sum P(B_k) = 1$ —— 算完所有 $P(B_k)$ 后立刻验证，发现错算可挽回
Bayes 分子分母同时算：分母 = 第一问的 $P(A)$ ，不重算
"枚举 $k$ 门击中"的组合数： $n$ 门时 $C_n^k$ 种，每种独立计算后相加
条件概率题反向变换： $P(A\mid B) = \dfrac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}$ ，看哪边好算选哪边
多重条件 $P(A\mid B, C)$ ：先固定 $B, C$ 把样本空间缩到 $BC$ ，再算 $A$

常错"小坑"清单

没算 $P(B_0)$ （"全不发生"）—— 虽然往往用不到，但验证 $\sum=1$ 必须包含
$P(B_1)$ "恰一门击中" 忘了枚举 3 种组合相加
Bayes 分母直接写 $P(A)$ 不展开 —— 扣过程分
把 $P(B\mid A)$ 与 $P(A\mid B)$ 弄反 —— 医学题典型陷阱
"条件 + 容斥" 时忘了加 $\mid B$ （每一步都要带条件）

📜 历年真题原型（全概率 + Bayes）

真题原型 1（23-24-2 题13 · 三门高射炮）：甲乙丙命中率

0.4/0.5/0.7

，独立射击。一门击中摧毁概率

0.2

，两门

0.6

，三门全中必摧毁。求 (1) 飞机被摧毁的概率；(2) 已知被摧毁，恰两门击中的概率。

解

设 $B_k$ = 恰 $k$ 门击中（ $k=0,1,2,3$ ，构成完备划分）， $A$ = 飞机被摧毁。

$P(B_3)=0.4\times0.5\times0.7=0.14$ 。

$P(B_2)=0.4\cdot0.5\cdot0.3+0.4\cdot0.5\cdot0.7+0.6\cdot0.5\cdot0.7=0.06+0.14+0.21=0.41$ 。

$P(B_1)=0.4\cdot0.5\cdot0.3+0.6\cdot0.5\cdot0.3+0.6\cdot0.5\cdot0.7=0.06+0.09+0.21=0.36$ 。

(1) 全概率： $P(A)=P(B_1)\cdot0.2+P(B_2)\cdot0.6+P(B_3)\cdot1=0.36\cdot0.2+0.41\cdot0.6+0.14=0.072+0.246+0.14=0.458$ 。

(2) Bayes： $P(B_2\mid A)=\dfrac{P(B_2)\cdot0.6}{P(A)}=\dfrac{0.246}{0.458}\approx0.537$ （分母直接用 (1) 的结果，不要重算）。

条件概率三大公式

条件概率： $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}\ (P(B)>0)$ 。
乘法公式： $P(AB)=P(B)P(A\mid B)$ ；推广 $P(A_1A_2A_3)=P(A_1)P(A_2\mid A_1)P(A_3\mid A_1A_2)$ 。
全概率（ $\{B_i\}$ 为 $\Omega$ 的完备划分， $\sum P(B_i)=1$ ）： $P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$ 。
Bayes： $P(B_k\mid A)=\dfrac{P(B_k)P(A\mid B_k)}{\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)}=\dfrac{P(B_k)P(A\mid B_k)}{P(A)}$ 。

解题四步（大题 13 模板）

设划分： $B_i$ 是"原因/类别"，须互斥且并为 $\Omega$ ，先验 $P(B_i)$ 。
算条件概率： $P(A\mid B_i)$ （"在第 $i$ 类下结果发生"）。
全概率求 $P(A)$ ：加权求和。
Bayes 求后验：分母复用第 3 步的 $P(A)$ ，不重算。

划分不完备 / 不互斥： $\{B_i\}$ 必须既两两互斥又并为 $\Omega$ ，否则 $\sum P(B_i)\ne1$ ，全概率算错。
"恰 $k$ 个击中"漏枚举组合：三门恰一门 / 恰两门各有 3 种组合，须逐项相加别漏（高射炮题失分点）。
Bayes 分母重算：分母就是全概率算出的 $P(A)$ ，直接代入，重新积分/求和易出错。
"至少发生一起"先转对立：如泊松事故"至少一起" $=1-P(0)=1-e^{-\lambda}$ ，先化简再代入划分。

1.3 条件概率 · 全概率 · Bayes 公式 ⭐⭐⭐

一、条件概率定义与本质

二、乘法公式（两事件 + n 事件）

三、全概率公式 ⭐⭐⭐

四、Bayes 公式 ⭐⭐⭐

五、解题标准模板（必背！）

六、易错点清单

七、本节满分级补充（来自学姐 44 页笔记）

八、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧