1.4 随机事件的独立性 ⭐

事件 $A, B$ 独立 $\Leftrightarrow P(AB) = P(A)P(B)$

等价：若 $P(B) > 0$，$A, B$ 独立 $\Leftrightarrow P(A\mid B) = P(A)$（条件下不改变 $A$ 的概率）。

若 $A, B$ 独立，则下列三组也独立：

证明（以 $\{A, \bar B\}$ 为例）：$P(A\bar B) = P(A)-P(AB) = P(A)-P(A)P(B) = P(A)(1-P(B)) = P(A)P(\bar B)$。

前 3 个 = 两两独立；加最后 1 个 = 相互独立。

$A_1, \ldots, A_n$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ 对任意 $k\geq 2$ 个事件 $A_{i_1}, \ldots, A_{i_k}$：

共需验证 $\binom{n}{2}+\binom{n}{3}+\cdots+\binom{n}{n} = 2^n-n-1$ 个等式。$n=3$ 时是 4 个，$n=4$ 时是 11 个。

$A_1, \ldots, A_n$ 相互独立：

同概率 $P(A_i) = p$ 时：$P = 1-(1-p)^n$

若 $A_1, \ldots, A_n$ 相互独立，则它们的任意子集函数也相互独立。

例如：$A_1\cup A_2$ 与 $A_3A_4$ 也独立（基于不同的索引集合）。

1. 两事件独立：$P(AB)=P(A)P(B)$；等价 $P(A\mid B)=P(A)$。
2. 三事件相互独立 = 4 个等式：3 个两两 $+\ P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。$n$ 事件需 $2^n-n-1$ 个。
3. 独立传递到对立：$\{A,\bar B\},\{\bar A,B\},\{\bar A,\bar B\}$ 同时独立。
4. 至少一个发生（独立）：$P\!\left(\bigcup A_i\right)=1-\prod[1-P(A_i)]$；同概率 $=1-(1-p)^n$。
5. 电路：串联通 $=\prod p_i$（全闭）；并联通 $=1-\prod(1-p_i)$（至少一闭）。

$p$ 极小、$n$ 大：$1-(1-p)^n\approx 1-e^{-np}$（更准）或 $\approx np$（$np\ll1$ 时）。如 $p=0.004,n=100$：$1-e^{-0.4}\approx0.33$。

• 两事件：验 $P(AB) = P(A)P(B)$
• 三事件相互独立：验 4 个等式（含 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$）
• $n$ 事件相互独立：验 $2^n-n-1$ 个等式

1. 独立传递到对立：$\{A,B\}, \{A,\bar B\}, \{\bar A,B\}, \{\bar A,\bar B\}$ 同时独立或同时不独立
2. 独立 + 至少一个发生：$P(\bigcup A_i) = 1-\prod(1-P(A_i))$
3. 同概率独立 $n$ 事件：$P(\bigcup A_i) = 1-(1-p)^n$
4. 独立 ⇏ 互斥（除 $P=0$ 或 $1$）
5. 互斥 + $0<P<1$ ⇏ 独立
6. 两两独立 ⇏ 相互独立（缺 $P(ABC) =$ 乘积条件）
7. 独立 ⇒ 条件概率不变：$P(A\mid B) = P(A)$
8. $n$ 重 Bernoulli：$n$ 次独立 + 同 $p$ 试验