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2.1 随机变量及其分布函数 ⭐

一、随机变量

定义

样本空间 Ω\Omega 上的实值函数 X(ω):Ω→RX(\omega):\Omega\to\mathbb R 称为随机变量。

把"事件"提升到"数值"，便于用微积分工具研究。

三种类型：

二、分布函数 F(x)F(x)

定义
F(x)=P(X≤x),x∈RF(x) = P(X\leq x),\quad x\in\mathbb R
⭐ 分布函数三大性质（必背！）
  1. 单调不减：x1<x2⇒F(x1)≤F(x2)x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)\leq F(x_2)
  2. 右连续：F(x+0)=F(x)F(x+0) = F(x)（注意不是左连续！）
  3. 极限：F(−∞)=0F(-\infty) = 0，F(+∞)=1F(+\infty) = 1

反之，任何满足这三条的函数都是某随机变量的分布函数。

基本概率计算（必背）
易错：分布函数右连续，所以含等号的边界归到右值。P(X≤a)=F(a)P(X\leq a) = F(a)，P(X<a)=F(a−0)P(X<a) = F(a-0)，差别就是这一点的质点概率。

三、典型例题

题 ★（待定常数）：F(x)=A+Barctan⁡xF(x) = A+B\arctan x 是某随机变量的分布函数，求 A,BA, B 及 P(∣X∣<1)P(|X|<1)。
解

F(−∞)=A−Bπ/2=0F(-\infty) = A-B\pi/2 = 0，F(+∞)=A+Bπ/2=1F(+\infty) = A+B\pi/2 = 1，解得 A=1/2, B=1/πA = 1/2,\,B = 1/\pi。

P(∣X∣<1)=F(1−0)−F(−1)=F(1)−F(−1)=12+14−(12−14)=12P(|X|<1) = F(1-0)-F(-1) = F(1)-F(-1) = \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}-\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{2}

这是 Cauchy 分布！

题（线性组合是否为分布函数）：已知 F1,F2F_1, F_2 是分布函数。aF1(x)+bF2(x)aF_1(x)+bF_2(x) 是分布函数的充要条件？
解

F(+∞)=a+b=1F(+\infty) = a+b = 1；非减需 a,b≥0a, b\geq 0。结论：a,b≥0a, b\geq 0 且 a+b=1a+b = 1（凸组合）。

F(−∞)=0F(-\infty) = 0 自动成立。

题（混合型分布函数）：F(x)={0,x<0x/4,0≤x<1(x+2)/4,1≤x<21,x≥2F(x) = \begin{cases}0,&x<0\\x/4,&0\leq x<1\\(x+2)/4,&1\leq x<2\\1,&x\geq 2\end{cases} 求 P(X=1)P(X = 1)，P(X≤1)P(X\leq 1)，P(0.5<X<1.5)P(0.5<X<1.5)。
解

F(1−0)=1/4F(1-0) = 1/4，F(1)=3/4F(1) = 3/4，所以 P(X=1)=F(1)−F(1−0)=1/2P(X = 1) = F(1)-F(1-0) = 1/2。这一点有跳跃，是混合型。

P(X≤1)=F(1)=3/4P(X\leq 1) = F(1) = 3/4。

P(0.5<X<1.5)=F(1.5−0)−F(0.5)=3.5/4−1/8=7/8−1/8=6/8=3/4P(0.5<X<1.5) = F(1.5-0)-F(0.5) = 3.5/4 - 1/8 = 7/8 - 1/8 = 6/8 = 3/4。

验证：FF 在 [0,1)[0,1) 上从 0 增到 1/41/4，在 x=1x=1 跳到 3/43/4，在 [1,2)[1,2) 上从 3/43/4 增到 11，合法。

四、考试要点

本节常出：判断函数是否为分布函数（验三个性质）、求待定常数（用边界 F(−∞)=0,F(+∞)=1F(-\infty)=0, F(+\infty)=1）、概率计算。
易错点：
记忆口诀：

★ 必背块（分布函数核心）

⭐ 三性质 + 概率公式（默写到秒答）
  1. 三性质：单调不减；右连续 F(x+0)=F(x)F(x+0)=F(x)；F(−∞)=0, F(+∞)=1F(-\infty)=0,\ F(+\infty)=1。满足这三条 ⇔\Leftrightarrow 是某随机变量的分布函数。
  2. P(a<X≤b)=F(b)−F(a)P(a<X\le b)=F(b)-F(a)（左开右闭最干净）。
  3. P(X=a)=F(a)−F(a−0)P(X=a)=F(a)-F(a-0) = 在 aa 处的跳跃高度。
  4. P(X<a)=F(a−0)P(X<a)=F(a-0)；P(X≤a)=F(a)P(X\le a)=F(a)；P(X≥a)=1−F(a−0)P(X\ge a)=1-F(a-0)；P(X>a)=1−F(a)P(X>a)=1-F(a)。
  5. 凸组合：aF1+bF2aF_1+bF_2 是分布函数 ⇔a,b≥0\Leftrightarrow a,b\ge0 且 a+b=1a+b=1。
  6. 连续型 P(X=a)=0P(X=a)=0，含不含端点都一样；混合型在跳跃点 P(X=a)>0P(X=a)>0。

★ 易错点（强化 · 3 条）

五、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

必背二级结论

  1. 分布函数三性质：单调不减 + 右连续 + F(−∞)=0,F(+∞)=1F(-\infty)=0, F(+\infty)=1
  2. P(X=a)=F(a)−F(a−0)P(X=a) = F(a)-F(a-0)（跳跃高度）—— 离散点的概率
  3. P(X<a)=F(a−0)P(X<a) = F(a-0)（不含 aa）；P(X≤a)=F(a)P(X\leq a) = F(a)（含 aa）
  4. P(a<X≤b)=F(b)−F(a)P(a<X\leq b) = F(b)-F(a)；P(a≤X≤b)=F(b)−F(a−0)P(a\leq X\leq b) = F(b)-F(a-0)
  5. P(X>a)=1−F(a)P(X>a) = 1-F(a)；P(X≥a)=1−F(a−0)P(X\geq a) = 1-F(a-0)
  6. 连续型 P(X=a)=0P(X=a) = 0，所以含/不含端点不影响概率
  7. aF1+bF2aF_1+bF_2 是分布函数 ⇔ a,b≥0a, b\geq 0 且 a+b=1a+b=1（凸组合）

速算与解题技巧

  1. 求待定常数：用 F(−∞)=0F(-\infty)=0 和 F(+∞)=1F(+\infty)=1 列方程
  2. 判断是分布函数：检查 3 性质，最快是边界条件
  3. 含/不含等号的边界：右连续 → 含 == 归右值
  4. 混合型识别：FF 既有连续部分又有跳跃

常错"小坑"清单