2.2 离散型随机变量

定义

$X$ 取离散值 $x_1, x_2, \ldots$ ，分布律 $p_k = P(X = x_k)$ ，满足

$p_k\geq 0$
$\sum_k p_k = 1$

分布函数： $F(x) = \sum_{x_k\leq x}p_k$ （阶梯函数）。

1. 0-1 分布（Bernoulli）

$P(X = 1) = p,\ P(X = 0) = 1-p$ ， $0 < p < 1$ 。

$E(X) = p,\quad D(X) = p(1-p)$

这是 Bernoulli 试验的单次结果。

2. 二项分布 $B(n, p)$

$n$ 重 Bernoulli 试验中成功次数：

P(X = k) = C_n^k p^k(1-p)^{n-k},\quad k = 0, 1, \ldots, n

$E(X) = np,\quad D(X) = np(1-p)$

⭐ 最可能值公式（满分笔记重点）

$X\sim B(n, p)$ ，最可能值 $k^*$ ：

若 $(n+1)p$ 是整数： $k^* = (n+1)p$ 或 $(n+1)p-1$ （两个最可能值！）
否则： $k^* = \lfloor(n+1)p\rfloor$ （单一最大）

这个细节多数教材一笔带过，选择题常埋雷。

题：甲乙比赛 10 局，甲每局胜概率 0.6。求甲胜 6 局以上的概率及最可能甲胜局数。

解

$(n+1)p = 11\times 0.6 = 6.6$ ，非整数， $k^* = \lfloor 6.6\rfloor = 6$ 。

$P(X\geq 6) = \sum_{k=6}^{10}C_{10}^k 0.6^k 0.4^{10-k}\approx 0.633$ 。

3. Poisson 分布 $P(\lambda)$ ⭐

P(X = k) = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},\quad k = 0, 1, 2, \ldots,\,\lambda > 0

$E(X) = \lambda,\quad D(X) = \lambda$ （期望 = 方差！）

描述单位时间/空间内稀有事件发生次数。

⭐ Poisson 极限定理

$n$ 大、 $p$ 小、 $np = \lambda$ 适中时：

C_n^k p^k(1-p)^{n-k}\approx \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

实用范围： $n\geq 20$ 且 $p\leq 0.05$ 。

推导（满分笔记）：

\lim_{n\to\infty}C_n^k\left(\dfrac{\lambda}{n}\right)^k\left(1-\dfrac{\lambda}{n}\right)^{n-k} = \dfrac{\lambda^k}{k!}\cdot 1\cdot e^{-\lambda}\cdot 1 = \dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

题 ★（设备故障）：90 台设备每台故障率 0.01，配

N

工人。求至少需配几人使"故障数 >

N

"的概率 < 0.01。

解

$X\sim B(90, 0.01)\approx P(0.9)$ 。 $P(X\leq 4) = \sum_{k=0}^4\frac{0.9^k e^{-0.9}}{k!}\approx 0.9977$ 。

$P(X\geq 5) = 1-0.9977 = 0.0023 < 0.01$ ，所以 $N = 4$ 足够。

4. 几何分布 $G(p)$

首次成功所需试验次数：

P(X = k) = p(1-p)^{k-1},\quad k = 1, 2, \ldots

$E(X) = 1/p,\quad D(X) = (1-p)/p^2$

⭐ 无记忆性（离散唯一！）

P(X > m+n\mid X > m) = P(X > n)

"已经等了 $m$ 次没成功，再等 $n$ 次成功的概率与从头等 $n$ 次一样"。

结论：离散分布中唯一具有无记忆性的是几何分布。

5. 超几何分布

$N$ 件含 $M$ 个次品，不放回抽 $n$ 件，次品数 $X$ ：

P(X = k) = \dfrac{C_M^k C_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}

$E(X) = nM/N$ ； $n\ll N$ 时近似 $B(n, M/N)$ 。

6. 帕斯卡（负二项）分布

第 $r$ 次成功所需试验次数：

P(X = k) = C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\quad k = r, r+1, \ldots

$E(X) = r/p$ 。 $r = 1$ 时退化为几何分布。

分布	$P(X=k)$	$E$	$D$	实际背景
0-1	$p^k(1-p)^{1-k}$	$p$	$p(1-p)$	单次试验
$B(n,p)$	$C_n^k p^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$	$n$ 次独立试验成功数
$P(\lambda)$	$\lambda^k e^{-\lambda}/k!$	$\lambda$	$\lambda$	稀有事件计数
$G(p)$	$p(1-p)^{k-1}$	$1/p$	$(1-p)/p^2$	首次成功时间

$B(n_1, p) + B(n_2, p) = B(n_1+n_2, p)$ （独立、同 $p$ ！）
$P(\lambda_1) + P(\lambda_2) = P(\lambda_1+\lambda_2)$ （独立）
几何分布无可加性，但 $r$ 个独立 $G(p)$ 的和服从负二项 $NB(r, p)$

题：

X\sim P(\lambda)

，求

E(3^X)

。

解

E(3^X) = \sum_{k=0}^\infty 3^k\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{(3\lambda)^k}{k!} = e^{-\lambda}\cdot e^{3\lambda} = e^{2\lambda}

更一般： $E(e^{aX}) = e^{\lambda(e^a-1)}$ —— 这是 Poisson 分布的矩母函数。

题：

X\sim B(n, p)

，求

E(e^{3X})

。

解

E(e^{3X}) = \sum_{k=0}^n e^{3k}C_n^k p^k(1-p)^{n-k} = (pe^3+1-p)^n

二项分布的矩母函数。

二项 vs Poisson 适用条件辨析
几何分布"首次成功"次数从 1 开始（不是 0）
负二项 $P(X = k) = C_{k-1}^{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$ ，起始 $k = r$
二项最可能值 $(n+1)p$ 是整数时有两个最可能值
$E(X^2) \neq [E(X)]^2$ （"平方的期望" vs "期望的平方"）
Poisson 期望 = 方差 = $\lambda$

记忆口诀：

"0-1 → 二项 → Poisson"（关系链）
" $n$ 大 $p$ 小 → Poisson 近似"
"几何分布无记忆，离散唯一"
"Poisson： $E = D = \lambda$ "

真题原型 1（22-23-2 题2 · 二项矩母函数 $E(e^Y)$ ，先算 $p$ ）：设连续型

X

密度

f(x)=2x\ (0<x<1)

，令

p=P(X>0.5)

。再设

Y\sim B(5,p)

，求

E(e^Y)

。

解

先求 $p$ ： $p=P(X>0.5)=\displaystyle\int_{0.5}^1 2x\,\dd x=[x^2]_{0.5}^1=1-0.25=\tfrac34$ 。

套二项矩母函数 $E(e^{aY})=(pe^a+1-p)^n$ ，此处 $a=1,n=5$ ：

E(e^Y)=\left(p\,e+1-p\right)^5=\left(\tfrac34 e+\tfrac14\right)^5

关键：不要展开求和，识别"二项分布求 $E(e^{aY})$ "直接套矩母函数 $(pe^a+1-p)^n$ 。

真题原型 2（23-24-2 题5 · 离散样本 $\max$ 的期望）：

X

取

-1,0,1

，概率分别

\tfrac12,\tfrac14,\tfrac14

。

X_1,X_2,X_3

独立同分布，

M=\max(X_1,X_2,X_3)

，求

E(M)

。

解

先求 $\max$ 的累积分布： $P(M\le m)=[F_X(m)]^3$ 。

P(M\le-1)=\left(\tfrac12\right)^3=\tfrac{8}{64},\quad P(M\le0)=\left(\tfrac34\right)^3=\tfrac{27}{64},\quad P(M\le1)=1

差分得分布律： $P(M=-1)=\tfrac{8}{64}$ ， $P(M=0)=\tfrac{27-8}{64}=\tfrac{19}{64}$ ， $P(M=1)=\tfrac{64-27}{64}=\tfrac{37}{64}$ 。

E(M)=-1\cdot\tfrac{8}{64}+0\cdot\tfrac{19}{64}+1\cdot\tfrac{37}{64}=\tfrac{29}{64}

关键： $\max$ 分布律必须用 $[F(m)]^n$ 累积后差分，不能逐点直接乘概率。

⭐ 五分布

E/D

（送分，背到秒答）

0-1 $B(1,p)$ ： $E=p,\ D=p(1-p)$
二项 $B(n,p)$ ： $E=np,\ D=np(1-p)$
泊松 $P(\lambda)$ ： $E=D=\lambda$ （期望=方差，独有！）
几何 $G(p)$ ： $E=1/p,\ D=(1-p)/p^2$
超几何（不放回）： $E=nM/N$

矩母函数

E(e^{aX})

（高频小题）

$X\sim B(n,p)$ ： $(pe^a+1-p)^n$
$X\sim P(\lambda)$ ： $e^{\lambda(e^a-1)}$ （推论： $E(t^X)=e^{\lambda(t-1)}$ ，故 $E(3^X)=e^{2\lambda}$ ）

其他必背判据

二项最可能值： $(n+1)p$ 是整数时双峰（ $k^*$ 与 $k^*-1$ ）；否则 $k^*=\lfloor(n+1)p\rfloor$ 。
泊松近似： $n\ge20,\ p\le0.05$ 时 $B(n,p)\approx P(np)$ 。
几何无记忆性（离散唯一）： $P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$ 。
可加性（独立）： $B(n_1,p)+B(n_2,p)=B(n_1+n_2,p)$ （须同 $p$ ）； $P(\lambda_1)+P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2)$ 。
离散 $\max/\min$ 分布律： $P(M\le m)=[F(m)]^n$ 累积差分； $P(L\ge m)=[P(X\ge m)]^n$ 互补差分。

① 二项可加性必须同 $p$ ： $B(n_1,p)+B(n_2,p)=B(n_1+n_2,p)$ 只在 $p$ 相同、且独立时成立； $p$ 不同则不再是二项。
② 几何从 1 开始： $P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\ k=1,2,\dots$ （首次成功次数），不是从 0；起点错则 $E=1/p$ 也会跟着错。
③ $\max$ 分布律不能直接乘：先写 $P(M\le m)=[F(m)]^n$ 再相邻差分； $\min$ 要用 $P(L\ge m)=[P(X\ge m)]^n$ 的互补差分（用 $\ge$ 别用 $\le$ ）。这是 23-24-2、22-23-2 选择题的同款考点。

识别分布的速查表

问题特征	对应分布
单次试验，成功 / 失败	0-1 分布
$n$ 次独立试验，成功次数	$B(n,p)$
稀有事件计数，单位时间发生数	$P(\lambda)$
首次成功时间 / 次数	$G(p)$
第 $r$ 次成功时间	负二项 / Pascal
$N$ 中含 $M$ 次品，不放回抽 $n$	超几何

必背二级结论

$E$ 与 $D$ 总表：0-1 → $p, p(1-p)$ ； $B(n,p)$ → $np, np(1-p)$ ； $P(\lambda)$ → $\lambda, \lambda$ ； $G(p)$ → $1/p, (1-p)/p^2$
二项最可能值： $(n+1)p$ 是整数时双峰（ $k^*$ 与 $k^*-1$ ）；非整数时 $k^* = \lfloor(n+1)p\rfloor$
Poisson 近似： $n\geq 20, p\leq 0.05$ 时 $B(n,p)\approx P(np)$
几何无记忆性： $P(X>m+n\mid X>m) = P(X>n)$ （离散唯一！）
$E(e^{aX})$ 矩母函数：

$X\sim B(n,p)$ ： $(pe^a+1-p)^n$
$X\sim P(\lambda)$ ： $e^{\lambda(e^a-1)}$
$X\sim G(p)$ ： $pe^a/(1-(1-p)e^a)$

Poisson 拆分： $X\sim P(\lambda)$ ，每次试验独立按 $p$ 拆 → 拆出的 $X_1\sim P(\lambda p)$
可加性： $B(n_1,p)+B(n_2,p)=B(n_1+n_2,p)$ ； $P(\lambda_1)+P(\lambda_2) = P(\lambda_1+\lambda_2)$
$D = E(X^2)-(EX)^2$ ， $E(X(X-1))$ 拆分技巧

速算与解题技巧

识别分布 → 直接套 $E, D$ ，不用算积分/求和
Poisson 求 $E(e^{aX})$ ：直接套 $e^{\lambda(e^a-1)}$
大 $n$ 二项近似选 Poisson 还是正态： $p$ 小用 Poisson， $p$ 适中用正态
泊松流的间隔时间：服从 $E(\lambda)$ （链接到下一节）
查表速算：教材附表给 Poisson 分布表，按 $\lambda$ 和 $k$ 查

常错"小坑"清单

几何分布从 1 开始（不是 0）
$(n+1)p$ 整数时双峰—— 选择题常考
二项 vs Poisson 适用： $p$ 不小时不能用 Poisson 近似
$E(X^2) = D(X)+(EX)^2$ —— 不要忘第二项
Poisson 期望 = 方差（独有特性）

2.2 离散型随机变量 ⭐⭐

一、分布律

二、五大常见离散分布（必记！）

1. 0-1 分布（Bernoulli）

2. 二项分布 $B(n, p)$

3. Poisson 分布 $P(\lambda)$ ⭐

4. 几何分布 $G(p)$

5. 超几何分布

6. 帕斯卡（负二项）分布

三、分布比较

四、可加性

五、典型例题（LOTUS）

六、易错点清单

★ 历年真题原型（强化）

★ 必背块（离散分布核心）

★ 易错点（强化 · 3 条）

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

识别分布的速查表

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

2.2 离散型随机变量 ⭐⭐

一、分布律

二、五大常见离散分布（必记！）

1. 0-1 分布（Bernoulli）

2. 二项分布 B(n,p)B(n, p)B(n,p)

3. Poisson 分布 P(λ)P(\lambda)P(λ) ⭐

4. 几何分布 G(p)G(p)G(p)

5. 超几何分布

6. 帕斯卡（负二项）分布

三、分布比较

四、可加性

五、典型例题（LOTUS）

六、易错点清单

★ 历年真题原型（强化）

★ 必背块（离散分布核心）

★ 易错点（强化 · 3 条）

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

识别分布的速查表

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

2. 二项分布 $B(n, p)$

3. Poisson 分布 $P(\lambda)$ ⭐

4. 几何分布 $G(p)$