2.3 连续型随机变量

定义

$X$ 的分布函数 $F(x)$ 可写成

F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\dd t

$f(x)$ 是概率密度。

密度的性质

$f(x)\geq 0$
$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\dd x = 1$
$f$ 连续点 $F'(x) = f(x)$
$P(a<X\leq b) = \int_a^b f$
$P(X = x_0) = 0$ （但事件未必不发生，"零测集"）

连续型

X

取任意单点概率为 0，所以

P(a\leq X\leq b) = P(a<X<b) = \int_a^b f

，边界与否不影响。

f(x) = \begin{cases}\dfrac{1}{b-a},&a<x<b\\0,&\text{其他}\end{cases}\quad F(x) = \begin{cases}0,&x<a\\\dfrac{x-a}{b-a},&a\leq x\leq b\\1,&x>b\end{cases}

$E(X) = \dfrac{a+b}{2},\,D(X) = \dfrac{(b-a)^2}{12}$

f(x) = \begin{cases}\lambda e^{-\lambda x},&x\geq 0\\0,&x<0\end{cases}\quad F(x) = 1-e^{-\lambda x}\;(x\geq 0)

$E(X) = 1/\lambda,\,D(X) = 1/\lambda^2$

描述独立随机事件发生的时间间隔。

⭐ 无记忆性（连续唯一！）

P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)

证明：

\dfrac{P(X>s+t)}{P(X>s)} = \dfrac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X>t)

"已经等了 $s$ ，再等 $t$ 的概率与从头等 $t$ 一样"。

结论：连续分布中唯一具有无记忆性的是指数分布。

题 ★：到达时间

T\sim E(\lambda)

，已知

T > 8

分钟，求

T > 18

的概率。

解

$P(T>18\mid T>8) = P(T>10) = e^{-10\lambda}$ 。

指数与 Poisson 的关系

Poisson 流（率 $\lambda$ ）的相邻事件间隔时间 $\sim E(\lambda)$ 。

反过来：若 i.i.d. 间隔 $\sim E(\lambda)$ ，则单位时间内事件数 $\sim P(\lambda)$ 。

这是排队论的基础。

f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\left[-\dfrac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]

$E(X) = \mu,\,D(X) = \sigma^2$

$\mu$ 决定位置（对称轴）， $\sigma$ 决定胖瘦（越小越尖）。

⭐ 标准化定理

X\sim N(\mu, \sigma^2)\Rightarrow\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0, 1)

记标准正态分布函数为 $\Phi$ ，则

P(X\leq x) = \Phi\!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)

对称性： $\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ 。

⭐

3\sigma

原则（必背！）

$P(|X-\mu|<\sigma)\approx 0.6826$
$P(|X-\mu|<2\sigma)\approx 0.9544$
$P(|X-\mu|<3\sigma)\approx 0.9974$

正态分布几乎所有概率集中在 $\mu\pm 3\sigma$ 内。工业质量控制核心。

常用分位数（必背）

$\alpha$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
$u_\alpha$	1.28	1.645	1.96	2.33	2.575

定义： $P(X>u_\alpha) = \alpha$ （上侧 $\alpha$ 分位数）。

题 ★：

X\sim N(7.5, 100)

，求

P(|X|\leq 10)

。

解

$\sigma = 10$ 。

P(|X|\leq 10) = P(-10\leq X\leq 10) = \Phi\!\left(\dfrac{10-7.5}{10}\right)-\Phi\!\left(\dfrac{-10-7.5}{10}\right) = \Phi(0.25)-\Phi(-1.75)

= \Phi(0.25)-[1-\Phi(1.75)] = 0.5987-(1-0.9599) = 0.5586

题（满分笔记推导）：

X\sim N(\mu, \sigma^2)

，证明

E(X) = \mu

。

证明

E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{x}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\dd x

令 $y = x-\mu$ ， $\dd y = \dd x$ ：

= \int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{y+\mu}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-y^2/(2\sigma^2)}\dd y

= \underbrace{\int\dfrac{y}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-y^2/(2\sigma^2)}\dd y}_{=0\,\text{（奇函数）}}+\mu\cdot\underbrace{\int\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-y^2/(2\sigma^2)}\dd y}_{=1\,\text{（归一化）}} = \mu

真题原型 23-24-1 第 17 题（Rayleigh 分布 · 5 个取 min）★★★：

X_1,\dots,X_5

独立同分布，密度

f(x) = \dfrac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/(2\sigma^2)}\,(x>0)

（瑞利分布），求

Y = \min(X_1,\dots,X_5)

的分布函数。

解（min 题的标准三步）

第一步：求单个 $X$ 的生存函数 $P(X>x)$ 。

P(X>x) = \int_x^{+\infty}\dfrac{t}{\sigma^2}e^{-t^2/(2\sigma^2)}\dd t = e^{-x^2/(2\sigma^2)}\quad(x>0)

（换元 $u = t^2/(2\sigma^2)$ 直接积出，等价于 $F(x) = 1-e^{-x^2/(2\sigma^2)}$ 。）

第二步：min 的生存函数 = 各生存函数之积（独立）。

P(Y>y) = \prod_{i=1}^5 P(X_i>y) = \left[e^{-y^2/(2\sigma^2)}\right]^5 = e^{-5y^2/(2\sigma^2)}\quad(y>0)

第三步：写分布函数。

F_Y(y) = 1-P(Y>y) = 1-e^{-5y^2/(2\sigma^2)}\quad(y>0)

结论： $Y$ 仍是瑞利分布，参数由 $\sigma^2$ 变成 $\sigma^2/5$ （"min 让尺度参数缩小为 $1/n$ "）。这与" $n$ 个独立指数取 min 仍是指数、率放大 $n$ 倍"是同一个套路。

正态标准化 + 求最小 $n$ （5/17 同型，年年送分）★★：

X\sim N(\mu, \sigma^2)

，

\sigma = 2

，独立抽

n

个取均值

\bar X

，要求

P(|\bar X-\mu|<1)\geq 0.95

，求最小

n

。

解

$\bar X\sim N\!\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$ ，标准化分母用标准差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ （不是方差 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ ！）：

P(|\bar X-\mu|<1) = 2\Phi\!\left(\dfrac{1}{\sigma/\sqrt n}\right)-1 = 2\Phi\!\left(\dfrac{\sqrt n}{2}\right)-1\geq 0.95

\Rightarrow\Phi\!\left(\dfrac{\sqrt n}{2}\right)\geq 0.975 = \Phi(1.96)\Rightarrow\dfrac{\sqrt n}{2}\geq 1.96\Rightarrow n\geq (3.92)^2 = 15.37

取 $n = 16$ 。关键： $\Phi(1.96) = 0.975$ 要背；标准化除的是 $\sigma/\sqrt n$ 。

三大连续分布速记表（

E

、

D

必背）

分布	密度 / 关键	$E(X)$	$D(X)$
均匀 $U(a,b)$	$\dfrac{1}{b-a}$ on $(a,b)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
指数 $E(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$ ， $F = 1-e^{-\lambda x}$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
正态 $N(\mu,\sigma^2)$	钟形，第二参数是方差	$\mu$	$\sigma^2$
瑞利 $f=\frac{x}{\sigma^2}e^{-x^2/2\sigma^2}$	$P(X>x) = e^{-x^2/2\sigma^2}$	$\sigma\sqrt{\frac{\pi}{2}}$	$\frac{4-\pi}{2}\sigma^2$

必背常数 / 判据

$3\sigma$ 原则： $P(|X-\mu|<\sigma)=0.6826$ ， $<2\sigma=0.9544$ ， $<3\sigma=0.9974$
分位数： $u_{0.05}=1.645,\ u_{0.025}=1.96,\ u_{0.01}=2.33,\ u_{0.005}=2.575$ ；常用 $\Phi(1.96)=0.975$
对称： $\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ ， $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$
无记忆性（连续唯一）： $P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)$ （指数）
$n$ 个独立 $E(\lambda)$ 取 min $\sim E(n\lambda)$ ；瑞利取 min 尺度 $\sigma^2\to\sigma^2/n$

🔴 你在这卡过（5/17）：正态标准化 + 求最小

n

学习回顾 5/17 标 🔶：" $P(|\bar X-\mu|<1)\geq 0.95$ 求最小 $n$ 时，标准化分母用错"。

怎么破：① 永远记住标准化分母是标准差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ ，不是方差 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ （这是你最常栽的一步）；② 把不等式化成 $2\Phi(\cdot)-1\geq c$ → $\Phi(\cdot)\geq\frac{1+c}{2}$ → 反查临界 $z^*$ ；③ $\Phi(1.96)=0.975$ 当死常数背。见上方"正态标准化 + 求最小 $n$ "原型。

连续型 $P(X = a) = 0$ 但事件未必不发生
正态标准化分母用 $\sigma$ ，不是 $\sigma^2$
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ 忘减负数情况
指数分布参数 $\lambda$ 方向： $E(X) = 1/\lambda$ （不是 $\lambda$ ）
无记忆性是连续分布的"指数唯一"，离散是"几何唯一"
$X\sim N(\mu, \sigma^2)$ 中第二参数是方差不是标准差

记忆口诀：

"均匀 → 长度，指数 → 时间，正态 → 钟形"
"正态标准化：减 $\mu$ 除 $\sigma$ "
"3 $\sigma$ 原则： $\pm\sigma=68\%, \pm 2\sigma=95\%, \pm 3\sigma=99.7\%$ "
"指数无记忆性： $P(X>s+t|X>s) = P(X>t)$ "

识别连续分布的速查

等可能 / 均匀： $U(a,b)$ ， $E=(a+b)/2, D=(b-a)^2/12$
到达 / 寿命时间间隔： $E(\lambda)$ ， $E=1/\lambda, D=1/\lambda^2$
测量误差 / 自然现象： $N(\mu,\sigma^2)$

必背二级结论

$E, D$ 总表： $U(a,b)$ → $(a+b)/2, (b-a)^2/12$ ； $E(\lambda)$ → $1/\lambda, 1/\lambda^2$ ； $N(\mu,\sigma^2)$ → $\mu, \sigma^2$
正态标准化： $X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow Z = (X-\mu)/\sigma\sim N(0,1)$
正态对称： $\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ ； $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$
$3\sigma$ 原则： $P(|X-\mu|<\sigma) = 68\%$ ； $<2\sigma=95\%$ ； $<3\sigma=99.7\%$
分位数： $u_{0.05}=1.645, u_{0.025}=1.96, u_{0.01}=2.33, u_{0.005}=2.575$
指数无记忆： $P(X>s+t\mid X>s) = P(X>t)$ （连续唯一！）
$n$ 个独立 $E(\lambda)$ 取 min： $\sim E(n\lambda)$ （重要！）
指数与 Poisson 关系：Poisson 流的间隔时间服从 $E(\lambda)$
$E|X|$ （ $X\sim N(0,1)$ ）： $\sqrt{2/\pi}\approx 0.798$ （必背）
$X\sim N(0,1)\Rightarrow X^2\sim\chi^2(1)$

速算与解题技巧

正态概率计算流程：标准化 → 化为 $\Phi(\cdot)-\Phi(\cdot)$ → 用对称性 → 查表
"求 $n$ 使概率 $\geq$ 某值"：用 $\Phi^{-1}(c) = z^*$ 反查
指数分布的 $P(X>a)$ ：直接 $e^{-\lambda a}$ ，不用积分
密度归一化求常数 $c$ ： $\int_{-\infty}^{+\infty}cf(x)\dd x = 1$
$P(a<X<b)$ 连续型：直接积分 $\int_a^b f\dd x$ 或 $F(b)-F(a)$
正态的 $E(X), D(X)$ 直接看参数： $N(\mu,\sigma^2)$ 中 $\mu$ 是均值， $\sigma^2$ 是方差

常错"小坑"清单

正态标准化分母用 $\sigma$ （不是 $\sigma^2$ ）
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ 忘减负数情况
指数分布参数： $E(\lambda)$ 中 $\lambda$ 是率， $E(X) = 1/\lambda$
$N(\mu,\sigma^2)$ 中第二参数是方差不是标准差（教材约定）
无记忆性：离散是几何，连续是指数
连续型 $P(X=a) = 0$ 但事件未必不发生

2.3 连续型随机变量 ⭐⭐

一、概率密度函数

二、均匀分布 $U(a, b)$

三、指数分布 $E(\lambda)$ ⭐

四、正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ ⭐⭐⭐

★ 历年真题原型

★ 必背块

五、易错点清单

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

识别连续分布的速查

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

2.3 连续型随机变量 ⭐⭐

一、概率密度函数

二、均匀分布 U(a,b)U(a, b)U(a,b)

三、指数分布 E(λ)E(\lambda)E(λ) ⭐

四、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2) ⭐⭐⭐

★ 历年真题原型

★ 必背块

五、易错点清单

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

识别连续分布的速查

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

二、均匀分布 $U(a, b)$

三、指数分布 $E(\lambda)$ ⭐

四、正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$ ⭐⭐⭐