2.4 随机变量函数的分布

$Y = g(X)$ ， $X$ 取 $\{x_k\}$ 概率 $\{p_k\}$ ，则

P(Y = y_i) = \sum_{k:\,g(x_k) = y_i} p_k

把映射到同一 $y_i$ 的所有 $x_k$ 概率合并即可。

例 1：

X

取

-1, 0, 1, 2

，概率

0.2, 0.3, 0.4, 0.1

。求

Y = X^2

的分布律。

解

$Y$ 取值 $0, 1, 4$ 。

$P(Y=0) = P(X=0) = 0.3$ ； $P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0.2+0.4 = 0.6$ ； $P(Y=4) = P(X=2) = 0.1$ 。

⭐ 三步走（最稳）

先写 $F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y)$
把 $\{g(x) \leq y\}$ 反解成 $x$ 的区域
用 $f_X$ 积分，再求导得 $f_Y$

难点：对 $g(x)\leq y$ 反解时，可能要根据 $y$ 的不同范围分段讨论；定义域要写完整。

例 2（绝对值）：

X\sim U(-1,1)

，求

Y = |X|

的密度。

解

$f_X(x) = 1/2,\ -1 < x < 1$ 。当 $y < 0$ ： $F_Y(y) = 0$ 。当 $y\geq 1$ ： $F_Y(y) = 1$ 。当 $0\leq y < 1$ ：

F_Y(y) = P(|X|\leq y) = P(-y\leq X\leq y) = \int_{-y}^y\dfrac{1}{2}\dd x = y

$f_Y(y) = F_Y'(y) = 1,\ y\in(0,1)$ 。即 $Y\sim U(0,1)$ 。

题 ★★★ 22-23-2 第 4 题（双侧指数 $Y=X^2$ ）：

X

密度

f(x) = \dfrac{1}{2}e^{-|x|}

，求

Y = X^2

的密度。

解

$y\leq 0$ ： $F_Y = 0$ 。 $y > 0$ ：

F_Y(y) = P(X^2\leq y) = P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y) = \int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\dfrac{1}{2}e^{-|x|}\dd x = 1-e^{-\sqrt y}

f_Y(y) = F_Y'(y) = \dfrac{e^{-\sqrt y}}{2\sqrt y},\ y > 0

关键：偶函数对称性 → 积分上限去对称变 $2\int_0^{\sqrt y}\frac{1}{2}e^{-x}\dd x = 1-e^{-\sqrt y}$ 。

题 ★★★（ $Y=X^2$ 导出 $\chi^2(1)$ ）：

X\sim N(0,1)

，求

Y=X^2

的密度。

解

$y\leq 0$ ： $F_Y = 0$ 。 $y > 0$ ：

F_Y(y) = P(X^2\leq y) = P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y) = \Phi(\sqrt y)-\Phi(-\sqrt y) = 2\Phi(\sqrt y)-1

f_Y(y) = \dfrac{1}{\sqrt y}\varphi(\sqrt y) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2},\ y > 0

这就是自由度 1 的 $\chi^2$ 分布 $\chi^2(1)$ ，等价于 $E(1/2)$ 。第 6 章会重点考。

题 ★★★ 23-24-1 第 2 题（min 函数，混合型！）：

X\sim E(\lambda)

，求

Y=\min(X, 2)

的分布。

解

$Y$ 既有连续部分（ $Y < 2$ 时 $Y = X$ ）又有离散质点（ $Y = 2$ 时 $X\geq 2$ ）。

$Y < 2$ ： $F_Y(y) = P(\min(X,2)\leq y) = P(X\leq y) = 1-e^{-\lambda y}$ ， $y\in(0,2)$

$Y = 2$ ： $P(Y = 2) = P(X\geq 2) = e^{-2\lambda}$ （这是个跳跃，质点！）

$Y\geq 2$ ： $F_Y(y) = 1$ 。

所以 $Y$ 的分布函数 $F_Y$ 在 $[0, 2)$ 是 $1-e^{-\lambda y}$ ，在 $y=2$ 跳到 1。 $Y$ 不是连续型，是混合型！这就是 min(X, c) 的常见陷阱。

⭐ 公式法

若 $g$ 在 $X$ 的支撑上严格单调可导，反函数 $x = h(y)$ ，则

f_Y(y) = f_X(h(y))\cdot|h'(y)|

定义域 = $g$ 的值域。

线性变换（最常用！）

$Y = aX+b$ （ $a\neq 0$ ）：

f_Y(y) = \dfrac{1}{|a|}f_X\!\left(\dfrac{y-b}{a}\right)

正态特例： $X\sim N(\mu,\sigma^2) \Rightarrow Y = aX+b\sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$

分段单调推广

若 $g$ 在 $X$ 支撑上分段单调，每段反函数 $h_i$ ：

f_Y(y) = \sum_i f_X(h_i(y))\cdot|h_i'(y)|

每个 $h_i$ 的定义域需正确确定。

题 ★★（对数正态）：

X\sim N(\mu,\sigma^2)

，

Y = e^X

。

解

$g(x) = e^x$ 严格增， $h(y) = \ln y$ ， $h'(y) = 1/y$ 。值域 $y > 0$ 。

f_Y(y) = \dfrac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\!\left[-\dfrac{(\ln y-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],\ y > 0

这是对数正态分布，常用于金融建模。

题（ $Y = \sin X$ ，分段单调）：

X\sim U(0,\pi)

，求

Y = \sin X

的密度。

解

$f_X(x) = 1/\pi,\ 0 < x < \pi$ 。 $y = \sin x$ 在 $(0,\pi)$ 不严格单调，分两段：

$x\in(0,\pi/2)$ ： $h_1(y) = \arcsin y$ ， $h_1'(y) = 1/\sqrt{1-y^2}$
$x\in(\pi/2,\pi)$ ： $h_2(y) = \pi-\arcsin y$ ， $h_2'(y) = -1/\sqrt{1-y^2}$

对 $y\in(0,1)$ ：

f_Y(y) = \dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}} = \dfrac{2}{\pi\sqrt{1-y^2}}

若 $X$ 的分布函数 $F_X$ 严格单调连续，则

Y = F_X(X)\sim U(0,1)

用途：Monte Carlo 模拟。给定 $U\sim U(0,1)$ ，则 $X = F_X^{-1}(U)$ 服从 $F_X$ 。

例：模拟指数分布

E(\lambda)

。

解

$F(x) = 1-e^{-\lambda x}$ ，反解 $X = -\ln(1-U)/\lambda$ （ $U\sim U(0,1)$ ）。

简化 $X = -\ln U/\lambda$ （因为 $1-U$ 也服从 $U(0,1)$ ）。

题型	方法	关键
$Y = aX+b$	公式法（线性）	正态保正态
$Y = X^2$	分布函数法（双值反函数）	$y > 0$ ，分子有 $\sqrt y$ ； $X\sim N(0,1)$ 时得 $\chi^2(1)$
$Y = \|X\|$	分布函数法	分对称性
$Y = e^X$	公式法	正态 → 对数正态
$Y = \min(X, c)$	分布函数法	混合型！ $y = c$ 处有质点
$Y = \max(X, c)$	分布函数法	同上， $y = c$ 处质点
$Y = F_X(X)$	定义	$\sim U(0,1)$
$Y = \sin X / \cos X$	分段单调推广	$(0,\pi)$ 上不单调，分段

用公式法时 $g$ 非单调：例如 $Y = X^2$ 直接套公式法漏掉一半
忘记定义域： $Y$ 的定义域 = $g$ 的值域，要明确写
$Y = \min/\max(X, c)$ 当成连续型：实际是混合型，含离散质点 $P(Y = c)$
公式法忘加 $|h'|$ 的绝对值
反函数定义域写错：例如 $Y = X^2,\ X\sim N(0,1)$ ， $Y$ 是 $[0,\infty)$ 不是 $\mathbb R$
双值反函数： $X^2$ 、 $|X|$ 、 $\cos X$ 等要分段处理

记忆口诀：

"不严格单调，分布函数法；严格单调，公式法"
"看到 min/max（X, c），警惕混合型"
" $Y = X^2$ ， $X\sim N(0,1)$ ，结果是 $\chi^2(1)$ "

真题原型 19-20-1 第 12 题（ $Y=\sqrt X$ ，公式法）★★：

X\sim U(0,4)

，求

Y = \sqrt X

的密度。

解（公式法：

g

严格增）

$f_X(x) = \dfrac{1}{4}\,(0<x<4)$ 。 $g(x) = \sqrt x$ 严格增，反函数 $x = h(y) = y^2$ ， $h'(y) = 2y$ 。值域 $y\in(0,2)$ 。

f_Y(y) = f_X(h(y))\cdot|h'(y)| = \dfrac{1}{4}\cdot 2y = \dfrac{y}{2}\quad(0<y<2)

验证 $\int_0^2\frac{y}{2}\dd y = 1$ ✓。关键：定义域由 $g$ 的值域定（ $x\in(0,4)\Rightarrow y\in(0,2)$ ），别漏写。

真题原型 18-19-2 第 9 题（ $Y=e^X$ ，公式法）★★：

X

密度

f_X(x) = 6x(1-x)\,(0<x<1)

，求

Y = e^X

的密度。

解（公式法：

g

严格增）

$g(x) = e^x$ 严格增，反函数 $x = h(y) = \ln y$ ， $h'(y) = 1/y$ 。 $x\in(0,1)\Rightarrow y\in(1, e)$ 。

f_Y(y) = f_X(\ln y)\cdot\dfrac{1}{y} = \dfrac{6\ln y\,(1-\ln y)}{y}\quad(1 < y < e)

验证 $\int_1^e f_Y\dd y = 1$ ✓。关键：把 $f_X$ 里的 $x$ 整体换成 $h(y)=\ln y$ ，再乘 $|h'(y)| = 1/y$ 。

方法选择 + 公式（背死）

公式法（ $g$ 严格单调可导）： $f_Y(y) = f_X(h(y))\,|h'(y)|$ ， $h$ 是反函数
分段单调（ $X^2,|X|,\sin X$ 等）： $f_Y(y) = \sum_i f_X(h_i(y))\,|h_i'(y)|$
分布函数法（万能）：先 $F_Y(y) = P(g(X)\leq y)$ 反解成 $x$ 区域，再求导
线性变换： $Y = aX+b\Rightarrow f_Y(y) = \dfrac{1}{|a|}f_X\!\left(\dfrac{y-b}{a}\right)$

必背二级结论

正态保正态： $X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow aX+b\sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$
$X\sim N(0,1)\Rightarrow X^2\sim\chi^2(1)$ ，密度 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\,(y>0)$
$X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow e^X$ 服从对数正态
$X\sim$ 任意连续 $F_X\Rightarrow F_X(X)\sim U(0,1)$ （概率积分变换）； $U\sim U(0,1)\Rightarrow -\ln U/\lambda\sim E(\lambda)$
$\min(X,c)/\max(X,c)$ 是混合型： $y=c$ 处有质点 $P(Y=c)>0$ ，密度只在 $y\neq c$ 处定义

题型决策树（按 $g(x)$ 类型）

$g$ 严格单调（如 $aX+b, e^X, \ln X$ ）→ 公式法 $f_Y(y) = f_X(h(y))|h'(y)|$
$g$ 分段单调（如 $X^2, |X|, \sin X$ ）→ 公式法分段相加 $\sum f_X(h_i)|h_i'|$
$g$ 不单调或难解 → 分布函数法（万能但繁琐）
$g$ 含 max/min(X, c) → 分布函数法 + 注意混合型（有质点）

必背二级结论

正态线性保正态： $X\sim N(\mu, \sigma^2),\,Y = aX+b\sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$
$X\sim N(0,1)\Rightarrow X^2\sim\chi^2(1)$ ，密度 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2},\,y>0$
$X\sim U(0,1)\Rightarrow -\ln X\sim E(1)$ （指数随机数生成）
$X\sim$ 任意连续 $F_X$ ，则 $Y = F_X(X)\sim U(0,1)$ （概率积分变换）
$X\sim U(a,b)\Rightarrow Y = (X-a)/(b-a)\sim U(0,1)$ （线性归一）
$X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow Y = e^X$ 服从对数正态： $f_Y(y) = \dfrac{1}{y\sqrt{2\pi}\sigma}\exp[-(\ln y-\mu)^2/(2\sigma^2)]$
$X\sim N(0,1)\Rightarrow |X|$ 服从半正态分布： $f(y) = \dfrac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2},\,y>0$ ， $E|X| = \sqrt{2/\pi}$

速算与解题技巧

看到 $Y = X^2$ ，立刻想"双值反函数"，结果含 $\sqrt y$ ，定义域 $y>0$
看到 $Y = aX+b$ ，正态保正态，无需推导直接写答案
看到 $Y = \min(X, c)$ 或 $\max(X, c)$ ，警惕混合型！ $P(Y=c)>0$
$X\sim N(0,1)$ 的偶函数： $E|X| = \sqrt{2/\pi}\approx 0.798$ （必背）
$F$ 反求 $f$ ： $f(y) = F'(y)$ （在 $f$ 连续点）
定义域反推： $g(x)$ 在 $X$ 支撑上的值域 = $Y$ 的支撑

常错"小坑"清单

公式法用在非单调函数： $Y=X^2$ 直接用公式法会漏一半，必须分段
忘 $|h'(y)|$ 的绝对值 —— 单调减时 $h'<0$ ，必须取绝对值
$Y = \min/\max(X,c)$ 当作连续型：实际有质点 $P(Y=c)>0$ ，密度只在 $y\neq c$ 定义
反函数定义域写错： $Y = X^2,\,X\in\mathbb R$ 时 $Y\in[0,\infty)$
分段单调时忘加： $Y = X^2$ 时分段反函数 $\sqrt y, -\sqrt y$ 各贡献一项

2.4 随机变量的函数及其分布 ⭐⭐⭐

一、离散型：取值合并

二、连续型方法 A：分布函数法（万能！）

三、连续型方法 B：公式法（仅严格单调）

四、概率积分变换（满分笔记重点）

五、必考题型总结

六、易错点清单（每年都有人栽）

★ 历年真题原型（补充）

★ 必背块

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型决策树（按 $g(x)$ 类型）

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

2.4 随机变量的函数及其分布 ⭐⭐⭐

一、离散型：取值合并

二、连续型方法 A：分布函数法（万能！）

三、连续型方法 B：公式法（仅严格单调）

四、概率积分变换（满分笔记重点）

五、必考题型总结

六、易错点清单（每年都有人栽）

★ 历年真题原型（补充）

★ 必背块

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型决策树（按 g(x)g(x)g(x) 类型）

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

题型决策树（按 $g(x)$ 类型）