3.1 二维随机变量及其分布

定义

F(x, y) = P(X\leq x,\,Y\leq y)

基本性质

$0\leq F\leq 1$
对 $x, y$ 分别单调不减、右连续
$F(-\infty, y) = F(x, -\infty) = 0$ ， $F(+\infty, +\infty) = 1$
矩形概率 $\geq 0$ ： $F(b, d)-F(b, c)-F(a, d)+F(a, c)\geq 0$ （ $a<b, c<d$ ）

满足这 4 条 ⇔ 是某二维随机变量的分布函数。

$(X, Y)$ 取离散值 $(x_i, y_j)$ ：

p_{ij} = P(X = x_i, Y = y_j),\quad p_{ij}\geq 0,\,\sum_{i,j}p_{ij} = 1

边缘分布律：

p_{i\cdot} = P(X = x_i) = \sum_j p_{ij},\quad p_{\cdot j} = P(Y = y_j) = \sum_i p_{ij}

F(x, y) = \int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^y f(u, v)\dd u\dd v

性质： $f\geq 0$ ， $\iint f = 1$ ， $\dfrac{\partial^2 F}{\partial x\partial y} = f$ （连续点）。

边缘密度：

f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\dd y,\quad f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x, y)\dd x

区域概率： $P((X, Y)\in D) = \iint_D f\dd x\dd y$

1. 二维均匀分布

f(x, y) = \begin{cases}1/S_G,&(x, y)\in G\\0,&\text{其他}\end{cases}

$S_G$ = 区域 $G$ 的面积。

2. 二维正态 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$

f(x, y) = \dfrac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\!\left[-\dfrac{1}{2(1-\rho^2)}\left(\dfrac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\dfrac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\dfrac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right)\right]

边缘均为一维正态： $X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\,Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$

但反之不真！ 边缘正态不一定来自二维正态（存在反例）。

题 ★★★（常见考题）：

f(x, y) = ky

，

D = \{(x, y): 0\leq x\leq y\leq 1\}

。求

k

、

P(Y > 1/2)

、边缘密度。

解

定 $k$ ： $\iint f = k\int_0^1\dd x\int_x^1 y\dd y = k\int_0^1\dfrac{1-x^2}{2}\dd x = k\cdot\dfrac{1}{3} = 1\Rightarrow k = 3$

$P(Y > 1/2)$ ：积分区域 $\{0\leq x\leq y, 1/2 < y\leq 1\}$ ，即 $y\in(1/2, 1], x\in[0, y]$ ：

P = 3\int_{1/2}^1\int_0^y y\,\dd x\,\dd y = 3\int_{1/2}^1 y^2\,\dd y = 3\cdot\dfrac{1}{3}[1-1/8] = \dfrac{7}{8}

边缘密度：

f_X(x) = 3\int_x^1 y\,\dd y = \dfrac{3}{2}(1-x^2),\;0\leq x\leq 1

f_Y(y) = 3\int_0^y y\,\dd x = 3y^2,\;0\leq y\leq 1

验证 $f\geq 0$ 全区域成立 ✓， $\iint f = 1$ ✓。

题（单位圆均匀分布的边缘）：

(X, Y)

在

x^2+y^2\leq 1

均匀分布。求边缘

f_X

。

解

$f(x, y) = 1/\pi$ 。 $|x| < 1$ 时：

f_X(x) = \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\dfrac{1}{\pi}\dd y = \dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}

不是均匀！ 边缘形如"椭圆型"。这表明二维均匀分布的边缘不必均匀。

真题原型 23-24-2 第 14 题（三角区域 · 边缘密度）★★★（题 14 铁打，14/14 套必出）：

f(x, y) = e^{-x}

，区域

0 < y < x

。求边缘密度

f_X, f_Y

。

解（画区域图定限是关键）

区域： $0 < y < x < +\infty$ ，是第一象限对角线下方的无界三角区。

求 $f_X(x)$ ：固定 $x>0$ ， $y$ 从 $0$ 到 $x$ （积分上限随 $x$ 变！）：

f_X(x) = \int_0^x e^{-x}\dd y = x\,e^{-x}\quad(x>0)

求 $f_Y(y)$ ：固定 $y>0$ ， $x$ 从 $y$ 到 $+\infty$ ：

f_Y(y) = \int_y^{+\infty}e^{-x}\dd x = e^{-y}\quad(y>0)

验证归一化： $\displaystyle\int_0^{+\infty}x\,e^{-x}\dd x = 1$ ✓（ $\Gamma(2)=1!=1$ ）。

陷阱提醒： $f_X = x e^{-x}$ （伽马型）≠ $f_Y = e^{-y}$ （指数型），两个边缘不对称——因为区域 $0<y<x$ 本身不对称。积分上下限随被固定的变量变化，必须先画图。

真题原型 23-24-2 第 14 题续（条件密度 + 事件条件 vs 点条件）★★★：同上

f(x,y)=e^{-x},\,0<y<x

，求

f_{X\mid Y}(x\mid y)

与

F_{X\mid Y}(2\mid y=1)

。

解

条件密度： $f_{X\mid Y}(x\mid y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} = \dfrac{e^{-x}}{e^{-y}} = e^{-(x-y)}\,(x>y)$ ，即给定 $Y=y$ 后 $X$ 服从"平移指数"。

条件分布函数： $F_{X\mid Y}(2\mid 1) = \displaystyle\int_1^2 e^{-(t-1)}\dd t = 1-e^{-1}\approx 0.632$ 。

务必区分：

P(X\le 2\mid Y\le 1)

（事件条件，用区域二重积分

\frac{\iint_{x\le2,y\le1}f}{\int_0^1 f_Y}

）

\ \neq\ \int_{-\infty}^2 f_{X\mid Y}(x\mid 1)\dd x

（点条件

Y=1

，用条件密度积分）。23-24-2 专考这个区别。

题 14 三步走（必拿 9 分）

归一化求常数： $\iint_D c\cdot g(x,y)\dd x\dd y = 1$ 解 $c$ （先画区域定限）
边缘密度： $f_X(x) = \int_{\{y:f>0\}}f(x,y)\dd y$ （积分限随 $x$ 变）
条件密度： $f_{X\mid Y}(x\mid y) = \dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ ；条件分布函数 $F_{X\mid Y}(x\mid y) = \int_{-\infty}^x f_{X\mid Y}(t\mid y)\dd t$

必背结论

边缘从联合 → 唯一；联合从边缘 → 不唯一（相同边缘可有不同联合）
二维正态边缘是一维正态；反之不真（边缘正态 $\nRightarrow$ 联合正态）
$\rho = 0\Leftrightarrow$ 独立仅在二维正态成立；一般只有"独立 $\Rightarrow$ 不相关"
二维均匀 $f = 1/S_G$ ；单位圆均匀边缘 $f_X = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$ （不是均匀）
可分离 + 矩形支撑 $\Rightarrow$ 独立： $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$

🔴 你在这卡过（5/11）：协方差 / 相关系数 / "不相关 vs 独立"

5/11 你坦白"协方差啥的我都有点遗忘了""相关系数我完全忘记了"。结合 22-23-2[10] 经典陷阱（只给边缘正态 + $\rho=-0.3$ ）：

怎么破（三句锁死）：① 独立 $\Rightarrow$ 不相关恒成立；不相关 $\Rightarrow$ 独立只在确认"联合正态"时才成立，光边缘正态不够。② 22-23-2[10] 答案是②③： $X+Y$ 与 $X-Y$ 不相关（ $\Cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)=0$ ，只需边缘同方差），但不独立（独立需联合正态，题没保证）。③ $\Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$ ， $\rho=\frac{\Cov}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\in[-1,1]$ ， $\Cov(X,Y)=\rho\sigma_X\sigma_Y$ 。

边缘分布不能唯一决定联合分布：相同边缘可能对应不同联合（最常见的考点）
积分上下限随区域 $D$ 变化，需画图判断顺序
边缘密度积分要丢另一变量的支撑限制（如 $y$ 的范围依赖 $x$ ）
二维正态边缘是一维正态，但反之不真
$\rho = 0$ ⇔ 独立 仅在二维正态成立

记忆口诀：

"边缘 = 把另一变量积分掉"
"区域概率 = 区域上密度积分"
"二维正态边缘正态；反之未必"

题型套路（题 14 的第一小问）

归一化求 $c$ ： $\iint c\cdot g(x,y)\mathbf 1_D\dd x\dd y = 1$
求边缘： $f_X(x) = \int_{\{y: f(x,y)>0\}}f(x,y)\dd y$ （积分上下限随 $x$ 变）
区域概率： $P((X,Y)\in A) = \iint_A f\dd x\dd y$ （画图！）

必背二级结论

二维分布函数矩形概率： $F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c) = P(a<X\leq b, c<Y\leq d)\geq 0$
边缘从联合 → 唯一；联合从边缘 → 不唯一
二维正态边缘是一维正态： $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)\Rightarrow X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$ ；反之未必
二维均匀 $f = 1/S_G$ （区域面积的倒数）
单位圆均匀的边缘： $f_X(x) = \frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$ （不是均匀！）
对称区域 + 对称密度的边缘对称：若 $f(x,y) = f(-x,y)$ ，则 $f_X$ 是偶函数
$f(x,y) = f_X\cdot f_Y$ + 矩形支撑 ⇒ 独立

速算与解题技巧

画区域图是必须的—— 决定积分上下限
积分顺序选择：选积分容易的方向先积
对称性利用：偶函数对称积分简化
二维正态记参数： $\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho$
验证概率 $\leq 1$ ：算完后用边界条件检验

常错"小坑"清单

积分上下限随 $x$ 变：边缘密度积分要看支撑
"边缘 + 独立 → 联合" 错：只有独立时 $f = f_X f_Y$
二维均匀的边缘不一定均匀（单位圆是反例）
$\rho = 0$ ⇔ 独立仅在二维正态

3.1 二维随机变量及其分布 ⭐⭐⭐

一、联合分布函数

二、离散型联合分布律

三、连续型联合密度

四、两种常见二维分布

1. 二维均匀分布

2. 二维正态 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$

五、典型例题

★ 历年真题原型（补充）

★ 必背块

六、易错点清单

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型套路（题 14 的第一小问）

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

3.1 二维随机变量及其分布 ⭐⭐⭐

一、联合分布函数

二、离散型联合分布律

三、连续型联合密度

四、两种常见二维分布

1. 二维均匀分布

2. 二维正态 N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)N(μ1​,μ2​,σ12​,σ22​,ρ)

五、典型例题

★ 历年真题原型（补充）

★ 必背块

六、易错点清单

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型套路（题 14 的第一小问）

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

2. 二维正态 $N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$