3.2 二维条件分布 | 概率统计

$P(Y = y_j) > 0$ 时：

P(X = x_i\mid Y = y_j) = \dfrac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},\quad p_{\cdot j} = P(Y = y_j)

固定 $y_j$ 后，所有 $P(X = x_i\mid Y = y_j)$ 关于 $i$ 求和为 1。

乘法 / 全概率（离散版）

p_{ij} = p_{\cdot j} P(X = x_i\mid Y = y_j) = p_{i\cdot} P(Y = y_j\mid X = x_i)

P(X = x_i) = \sum_j p_{\cdot j} P(X = x_i\mid Y = y_j)

例 1（嵌套均匀）：

X

在

\{1,2,3,4\}

等可能取值；给定

X = n

，

Y

在

\{1, 2, \ldots, n\}

等可能。求

X\mid Y = 1

的分布。

解

$P(X = n, Y = 1) = \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{n}$ ， $n = 1, 2, 3, 4$ 。

$P(Y = 1) = \dfrac{1}{4}(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}) = \dfrac{25}{48}$ 。

$P(X = n\mid Y = 1) = \dfrac{1/(4n)}{25/48} = \dfrac{12}{25n}$ ， $n = 1, 2, 3, 4$ （即 $12/25, 6/25, 4/25, 3/25$ ）。

⭐ 定义

$f_Y(y) > 0$ 时

f_{X\mid Y}(x\mid y) = \dfrac{f(x, y)}{f_Y(y)}

对 $x$ 积分等于 1。条件分布函数

F_{X\mid Y}(x\mid y) = \int_{-\infty}^x f_{X\mid Y}(u\mid y)\dd u = \dfrac{1}{f_Y(y)}\int_{-\infty}^x f(u, y)\dd u

⭐ 反推联合密度（乘积形式）

f(x,y) = f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x) = f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_Y(y)

类似乘法公式。题目常给条件密度反求联合。

例 2（单位圆均匀）：

(X, Y)

在单位圆

x^2+y^2\leq 1

上均匀分布。求

f_{Y\mid X}(y\mid x)

。

解

$f(x, y) = 1/\pi$ ， $f_X(x) = \dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi},\ |x| < 1$ 。

f_{Y\mid X}(y\mid x) = \dfrac{1/\pi}{2\sqrt{1-x^2}/\pi} = \dfrac{1}{2\sqrt{1-x^2}},\quad|y|\leq\sqrt{1-x^2}

结论： $Y\mid X = x\sim U(-\sqrt{1-x^2}, \sqrt{1-x^2})$ ，条件分布是均匀的。注意支撑随 $x$ 变化！

例 3（反推联合密度）：

X\sim U(0,1)

；给定

X = x

，

Y\mid X = x\sim U(0, x)

。求联合密度。

解

$f_X(x) = 1,\ 0 < x < 1$ 。 $f_{Y\mid X}(y\mid x) = 1/x,\ 0 < y < x$ 。

f(x, y) = f_X(x)\cdot f_{Y\mid X}(y\mid x) = \dfrac{1}{x},\quad 0 < y < x < 1

$f_Y(y) = \int_y^1\dfrac{1}{x}\dd x = -\ln y,\ 0 < y < 1$ 。

题 ★★★ 23-24-2 第 14 题（指数族条件密度）：

(X, Y)

联合密度

f(x, y) = e^{-x}

，区域

0 < y < x

。

求 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$ 与 $f_Y(y)$ 。
区分 $P(Y\leq 1\mid X\leq 2)$ 与 $\int_0^1 f_{Y\mid X}(y\mid 2)\dd y$ 。

解

(1) $f_X(x) = \int_0^x e^{-x}\dd y = xe^{-x},\ x > 0$ 。

f_{Y\mid X}(y\mid x) = \dfrac{e^{-x}}{xe^{-x}} = \dfrac{1}{x},\quad 0 < y < x

即 $Y\mid X = x\sim U(0, x)$ （均匀！）。

$f_Y(y) = \int_y^\infty e^{-x}\dd x = e^{-y},\ y > 0$ ，即 $Y\sim E(1)$ 。

(2) 这两个量完全不同！

$P(Y\leq 1\mid X\leq 2) = \dfrac{P(Y\leq 1, X\leq 2)}{P(X\leq 2)}$ —— 事件条件概率，用二重积分
$\int_0^1 f_{Y\mid X}(y\mid 2)\dd y = \int_0^1\dfrac{1}{2}\dd y = \dfrac{1}{2}$ —— 这是 $P(Y\leq 1\mid X = 2)$ （ $X$ 取定值时）

解 (2) 第一个：

分母 $P(X\leq 2) = \int_0^2 xe^{-x}\dd x = 1-3e^{-2}$ （分部积分）

分子 $P(Y\leq 1, X\leq 2) = \iint_{0<y\leq 1, y<x\leq 2} e^{-x}\dd x\,\dd y$ （ $y\leq 1$ 直接限定 $y$ 上界）：

\int_0^1\dd y\int_y^2 e^{-x}\dd x = \int_0^1(e^{-y}-e^{-2})\dd y = (1-e^{-1})-e^{-2} = 1-e^{-1}-e^{-2}

$P(Y\leq 1\mid X\leq 2) = \dfrac{1-e^{-1}-e^{-2}}{1-3e^{-2}}\approx\dfrac{0.497}{0.594}\approx 0.836$

对比：条件密度积分给 $0.5$ （ $X=2$ 时 $Y\mid X=2\sim U(0,2)$ ，落入 $[0,1]$ 概率 $1/2$ ）；事件条件概率给 $0.836$ 。两者完全不同！

这是 23-24-2 真题专门测试的概念区分点！

若 $(X, Y)\sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$ ，则

X\mid Y = y\sim N\!\left(\mu_1+\rho\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\,\sigma_1^2(1-\rho^2)\right)

Y\mid X = x\sim N\!\left(\mu_2+\rho\dfrac{\sigma_2}{\sigma_1}(x-\mu_1),\,\sigma_2^2(1-\rho^2)\right)

结构：

条件均值 = "本身均值 + 回归项 $\rho\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}\cdot$ 偏差"
条件方差 = "本身方差 $\times$ 衰减因子 $(1-\rho^2)$ "

当 $|\rho| = 1$ 时条件方差为 0， $X$ 完全由 $Y$ 线性决定。

题：

(X, Y)\sim N(1, 4, 1, 4, 0.5)

，求

E(X\mid Y = 3)

与

D(X\mid Y = 3)

。

解

$\sigma_1 = \sigma_2 = 2$ ， $\rho = 0.5$ 。

$E(X\mid Y = 3) = 1+0.5\cdot\dfrac{2}{2}\cdot(3-1) = 1+1 = 2$

$D(X\mid Y = 3) = 4\cdot(1-0.25) = 3$

条件密度支撑随条件变量变化：算 $f_{Y\mid X}(y\mid x)$ 后定义域是 $y\in[\text{依赖 } x \text{ 的范围}]$ ，不要漏
$P(X<a\mid Y>b)$ 类：用普通条件概率定义 $P(X<a, Y>b)/P(Y>b)$ ，不能用条件密度积分
$P(X<a\mid Y=b)$ ：用条件密度 $\int_{-\infty}^a f_{X|Y}(x|b)\dd x$ 。两者不同！
二维正态条件方差忘 $(1-\rho^2)$ ：每次都要记得乘衰减因子
$f_Y(y) = 0$ 时：条件密度无定义，要排除

23-24-2 真题专测点：区分

P(Y\leq a\mid X\leq b)\neq\int_{-\infty}^a f_{Y|X}(y|b)\dd y

。

左边：事件条件概率 → 用二重积分
右边： $X = b$ 给定时的条件分布 → 用条件密度

两者只有在特殊情况下才相等。

画区域图（决定积分上下限的关键！）
求归一化常数 $c$ ： $\iint c\cdot g(x,y)\mathbf 1_D\,\dd x\dd y = 1$
求边缘 $f_X(x) = \int f(x,y)\dd y$ （注意积分上下限随 $x$ 变化）
求条件密度 $f_{Y\mid X} = f / f_X$
算条件概率/分布函数：判断是 $P(\cdot|X=x_0)$ （条件密度积分）还是 $P(\cdot|X\in A)$ （二重积分比）

题型五步法（题 14 满分模板）

⭐ 标准流程

画区域图（决定积分上下限的唯一保障！）
求归一化常数 $c$ （ $\iint c\cdot g(x,y)\,\dd x\dd y = 1$ ）
求边缘 $f_X(x) = \int f(x,y)\dd y$ （积分上下限随 $x$ 变）
条件密度 $f_{Y\mid X} = f/f_X$ （注意支撑随条件变量变化！）
算目标量：辨识是 $P(\cdot\mid X = x_0)$ （条件密度积分）还是 $P(\cdot\mid X\in A)$ （二重积分比）

必背二级结论

二维正态条件分布仍正态： $X\mid Y=y\sim N(\mu_1+\rho\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\,\sigma_1^2(1-\rho^2))$
条件均值的回归项：偏离 $\mu_2$ 一个 $\sigma_2$ ，则 $X$ 偏离 $\mu_1$ 大约 $\rho\sigma_1$
条件方差衰减因子： $(1-\rho^2)$ ，越相关越小
单位圆均匀的条件分布： $Y\mid X=x\sim U(-\sqrt{1-x^2},\sqrt{1-x^2})$
反推联合密度： $f(x,y) = f_X(x)\,f_{Y\mid X}(y\mid x)$ （条件密度法）
条件期望线性性： $E(aX+b\mid Y) = aE(X\mid Y)+b$
$P(Y\leq a\mid X\leq b)\neq\int_{-\infty}^a f_{Y\mid X}(y\mid b)\dd y$ （23-24-2 第 14 题专测）

速算与解题技巧

$f_{X\mid Y}$ 的支撑总是变化的：随 $y$ 变；条件密度看似"切片"
识别 $P(\cdot\mid B)$ 是事件还是单点： $\{Y\leq 1\}$ 是事件 → 二重积分； $\{Y = 1\}$ 是单点 → 条件密度
二维正态条件分布直接套公式，不要展开密度算积分
对称性应用：若 $f(x,y) = f(y,x)$ ，则 $X, Y$ 同分布
反推联合密度后验算： $f_{Y\mid X}\cdot f_X = f$ ，对边缘积分等于 $f_Y$ 检验

常错"小坑"清单

条件密度支撑写错： $Y\mid X=x\sim$ 某分布，定义域随 $x$ 变化
$P(X<a\mid Y<b)$ 直接用条件密度积分 —— 错！应该用 $P(X<a, Y<b)/P(Y<b)$ 即二重积分比
二维正态条件方差忘 $(1-\rho^2)$
$f_Y(y) = 0$ 时：条件密度无定义，要排除
支撑非矩形时把可拆密度判独立：必须先检查支撑！

⭐ 一页背全（题 14 全靠这几条）

条件密度： $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$ ，对 $x$ 积分 $=1$ ；支撑随 $y$ 变。
反推联合（乘法公式）： $f(x,y)=f_X(x)\,f_{Y\mid X}(y\mid x)=f_Y(y)\,f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 。
条件分布函数： $F_{X\mid Y}(x\mid y)=\displaystyle\int_{-\infty}^x f_{X\mid Y}(u\mid y)\,\dd u$ 。
二维正态条件分布仍正态： $X\mid Y=y\sim N\!\Big(\mu_1+\rho\dfrac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\ \sigma_1^2(1-\rho^2)\Big)$ 。
条件均值 = 本身均值 + 回归项；条件方差 = 本身方差 $\times(1-\rho^2)$ （越相关越小）。
判别口诀： $\{Y=b\}$ 单点 → 用条件密度积分； $\{Y\le b\}$ 事件 → 用二重积分比 $P(\cdot,\cdot)/P(Y\le b)$ 。
条件期望线性： $\E(aX+b\mid Y)=a\,\E(X\mid Y)+b$ ；全期望公式 $\E(X)=\E[\E(X\mid Y)]$ 。

题 ★★★ 23-24-1 第 16 题（ $cxy$ 型）：

(X,Y)

联合密度

f(x,y)=cxy

，区域

0<x<y<1

。

求常数 $c$ 与边缘 $f_Y(y)$ ；
求条件密度 $f_{X\mid Y}(x\mid y)$ 。

解

(1) 归一化： $\displaystyle\iint_D cxy\,\dd x\dd y=c\int_0^1 y\!\left(\int_0^y x\,\dd x\right)\dd y=c\int_0^1 y\cdot\dfrac{y^2}{2}\,\dd y=c\cdot\dfrac{1}{8}=1$ ，故 $c=8$ 。

边缘 $f_Y(y)=\displaystyle\int_0^y 8xy\,\dd x=8y\cdot\dfrac{y^2}{2}=4y^3,\ 0<y<1$ 。

(2) $f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{8xy}{4y^3}=\dfrac{2x}{y^2},\quad 0<x<y$ 。（注意支撑上界是 $y$ ，随条件变量变化！）

题 ★★★ 22-23-2 第 14 题（ $\frac{27}{4}x^2y^2$ 型，曲边支撑）：

f(x,y)=\dfrac{27}{4}x^2y^2

，区域

x^2<y<1

（即

0<x<1,\ x^2<y<1

）。求

f_X(x)

与

f_{Y\mid X}(y\mid x)

。

解

固定 $x$ ， $y$ 从 $x^2$ 到 $1$ ： $f_X(x)=\displaystyle\int_{x^2}^1 \dfrac{27}{4}x^2y^2\,\dd y=\dfrac{27}{4}x^2\cdot\dfrac{1-x^6}{3}=\dfrac{9}{4}x^2(1-x^6),\ 0<x<1$ 。

$f_{Y\mid X}(y\mid x)=\dfrac{\frac{27}{4}x^2y^2}{\frac{9}{4}x^2(1-x^6)}=\dfrac{3y^2}{1-x^6},\quad x^2<y<1$ 。

关键：曲边支撑 $x^2<y<1$ 决定边缘积分下限是 $x^2$ 不是 $0$ ——务必先画区域图。

🔴 你在这卡过（薄弱点精析 · 5/11、5/17 两轮暴露 + 条件概率辨识）：

卡点 1 —— "事件条件" 和 "点条件" 分不清（23-24-2 题14 专测、你做该题时混过）：看到 $P(Y\le1\mid X\le2)$ 误用条件密度 $\int_0^1 f_{Y\mid X}(y\mid 2)\dd y$ 。
怎么破：背死口诀——" $=$ 用密度， $\le/<$ 用积分比"。 $\{X=2\}$ 是单点 → 条件密度； $\{X\le2\}$ 是事件 → $\dfrac{P(Y\le1,X\le2)}{P(X\le2)}$ 二重积分比。本页第二节给的同一道题两个答案 $0.5$ vs $0.836$ 就是反例钉子，记住"差很多=两回事"。
卡点 2 —— 二维正态条件方差忘乘 $(1-\rho^2)$ （关联 5/11、5/17 协方差/相关系数遗忘）： $D(X\mid Y=y)$ 写成 $\sigma_1^2$ 。
怎么破：条件方差永远比边缘方差小（多了 $Y$ 的信息），衰减因子 $(1-\rho^2)\le1$ 不会漏； $|\rho|=1$ 时方差为 $0$ （ $X$ 被 $Y$ 完全线性决定）可做自检。
卡点 3 —— 条件密度支撑写错：算出 $f_{Y\mid X}=2x/y^2$ 却忘了标 $0<x<y$ ，定义域漏写直接扣分。
怎么破：条件密度是把联合密度沿 $Y=y$ 这条线"切片"再归一化，切片落在哪段，支撑就是哪段，永远随条件变量变。

3.2 二维条件分布 ⭐⭐⭐

一、离散型条件分布律

二、连续型条件密度

三、⭐ 二维正态的条件分布（满分笔记重点）

四、易错点清单

五、真题题 14 满分模板

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型五步法（题 14 满分模板）

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

七、必背块 · 条件分布核心公式

八、真题原型补充（同型多练）

九、🔴 你在这卡过