3.3-3.4 随机变量的独立性 & 多维随机变量 ⭐⭐

$X, Y$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ 对一切 $(x, y)$：

等价形式：

• 离散：$p_{ij} = p_{i\cdot}p_{\cdot j}$（一切 $i, j$）
• 连续：$f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$（连续点处）

若 $f(x, y) = r(x)g(y)$ 且支撑为矩形（$x$ 和 $y$ 的范围互不约束），则 $X, Y$ 独立。

关键：支撑必须是矩形！

• $f(x, y) = e^{-x-y},\,x, y > 0$ → 支撑 $(0, \infty)\times(0, \infty)$ 矩形 → 独立 ✓
• $f(x, y) = 2,\,0 < x < y < 1$ → 支撑三角形 → 不独立（虽然 $f = 2$ 看似可拆，但支撑非矩形）

$(X, Y)\sim N(\mu_1, \mu_2, \sigma_1^2, \sigma_2^2, \rho)$：

仅在此分布下三者等价！一般 "不相关 ≠ 独立"。

$X, Y$ 独立 $\Rightarrow$ 对任意 Borel 函数 $u, v$：$u(X)$ 与 $v(Y)$ 也独立。

用途：例如 $X, Y$ 独立则 $X^2, Y^2$ 独立、$\sin X, e^Y$ 独立、$|X|, Y^3$ 独立。

$n$ 维联合分布函数 $F(x_1, \ldots, x_n) = P(X_1\leq x_1, \ldots, X_n\leq x_n)$。

$n$ 维相互独立：

等价于 $f = \prod f_{X_i}$（连续）或 $p = \prod p_i$（离散）。

性质：相互独立 ⇒ 任意子集独立，各自函数独立。

1. 第一步看支撑：是否为矩形（$x$ 范围与 $y$ 范围互不约束）？
2. 支撑非矩形 → 不独立（无需验证密度）
3. 支撑矩形 → 验密度是否可拆 $f = r(x)g(y)$
4. 二维正态特例：直接看 $\rho$ 是否为 0

1. 独立 ⇔ $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$（连续型）
2. 独立 ⇔ $p_{ij} = p_{i\cdot}p_{\cdot j}$（离散型）
3. 可分离 + 矩形支撑 ⇔ 独立（必须两个条件！）
4. 二维正态独立 ⇔ $\rho = 0$（仅此分布！）
5. 独立传递到函数：$X\perp Y\Rightarrow u(X)\perp v(Y)$
6. 独立 + 同分布：i.i.d.（统计学基础）
7. $n$ 维独立 ⇒ 任意子集独立
8. $n$ 维独立 ⇒ 联合密度 = 边缘乘积

• 独立 $\Leftrightarrow F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)\Leftrightarrow f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$（连续）$\Leftrightarrow p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$（离散）。
• 实战判据：独立 $\Leftrightarrow$ 密度可分离 $f=r(x)g(y)$ 且支撑为矩形（两条件缺一不可）。支撑非矩形（如 $x<y$、$x^2<y$）直接判不独立。
• 独立 $\Rightarrow$ 不相关（$\Cov=0$）；反向仅二维正态成立。一般"不相关 $\nRightarrow$ 独立"。
• 二维正态：独立 $\Leftrightarrow$ 不相关 $\Leftrightarrow\rho=0$（仅此分布三者等价）。
• 传递性：$X\perp Y\Rightarrow u(X)\perp v(Y)$（如 $X^2\perp Y^3$、$|X|\perp e^Y$）。
• 独立时：$\E(XY)=\E X\,\E Y$，$\D(X\pm Y)=\D X+\D Y$。
• $n$ 维相互独立 $\Rightarrow$ 任意子集独立、各自函数独立、联合 $=$ 边缘乘积。
• 边缘正态 $\nRightarrow$ 联合正态（22-23-2[10] 陷阱）。