3.5 多维随机变量函数的分布

$Z = g(X, Y)$ ，分布函数

F_Z(z) = P(g(X, Y)\leq z) = \iint_{g(x,y)\leq z} f(x, y)\dd x\,\dd y

对 $z$ 求导得 $f_Z$ 。

⭐ 连续型卷积公式

$Z = X+Y$ ，密度

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x, z-x)\dd x = \int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y, y)\dd y

独立时简化为卷积：

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\dd x

离散型卷积

P(Z = r) = \sum_k P(X = k)P(Y = r-k)

分段技巧：画

f_X(x)\cdot f_Y(z-x)

同时非零的

(x, z)

区域，按

z

分段确定积分上下限。这是卷积题最容易出错的地方。

题 ★★★（三角分布）：

X, Y\sim U(0, 1)

独立，求

Z = X+Y

的密度。

解

$f_X(x) = 1,\ 0 < x < 1$ ， $f_Y(z-x) = 1$ 当 $0 < z-x < 1$ 即 $z-1 < x < z$ 。

两个非零范围交集： $\max(0, z-1) < x < \min(1, z)$ 。分段：

$0\leq z\leq 1$ ： $x\in(0, z)$ ， $f_Z(z) = z$
$1 < z\leq 2$ ： $x\in(z-1, 1)$ ， $f_Z(z) = 2-z$
否则 $f_Z = 0$

三角分布，对称于 $z = 1$ 。

题（独立正态相加）：

X\sim N(\mu_1, \sigma_1^2),\ Y\sim N(\mu_2, \sigma_2^2)

独立，求

X+Y

分布。

解

直接用可加性： $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2, \sigma_1^2+\sigma_2^2)$ 。无需做卷积！

更一般： $aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2, a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$ 。

周长陷阱（多年真题）：若题问

Z = 2(X+Y)

的密度，先用卷积求

W = X+Y

密度，再用线性变换公式

f_Z(z) = \dfrac{1}{2}f_W(z/2)

。记得乘 1/2！

分布	条件	结论
二项 $B(n,p)$	独立、同 $p$	$B(n_1, p) + B(n_2, p) = B(n_1+n_2, p)$
Poisson $P(\lambda)$	独立	$P(\lambda_1) + P(\lambda_2) = P(\lambda_1+\lambda_2)$
正态 $N(\mu, \sigma^2)$	独立	$\sum a_iX_i\sim N(\sum a_i\mu_i, \sum a_i^2\sigma_i^2)$
卡方 $\chi^2(n)$	独立	$\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2) = \chi^2(n_1+n_2)$
Gamma $\Gamma(\alpha,\beta)$	独立、同 $\beta$	$\Gamma(\alpha_1, \beta)+\Gamma(\alpha_2, \beta) = \Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \beta)$

指数分布不具有可加性（除非视为

\Gamma(1, \lambda)

，则

n

个独立

E(\lambda)

的和

\sim\Gamma(n, \lambda)

）。

⭐ 独立

X_1, \ldots, X_n

的 max / min

最大值 $M = \max\{X_i\}$ ：

F_M(z) = P(\max X_i\leq z) = P(\text{每个 }X_i\leq z) = \prod_{i=1}^n F_{X_i}(z)

最小值 $N = \min\{X_i\}$ ：

F_N(z) = 1-P(\min X_i > z) = 1-\prod_{i=1}^n[1-F_{X_i}(z)]

i.i.d. 同分布： $F_M(z) = F(z)^n$ ， $F_N(z) = 1-(1-F(z))^n$ 。

题 ★★★（指数串并联，经典）：

n

个独立

E(\lambda)

元件，求串联（取 min）和并联（取 max）的寿命分布。

解

串联（min）： $F_N(z) = 1-(e^{-\lambda z})^n = 1-e^{-n\lambda z}$ ，即 $N\sim E(n\lambda)$ 。

并联（max）： $F_M(z) = (1-e^{-\lambda z})^n$ ，无简单形式。 $E(M) = \dfrac{1}{\lambda}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ （调和级数）。

结论必记： $n$ 个 i.i.d. $E(\lambda)$ 取 min 仍是指数分布，参数变 $n\lambda$ 。

$Z = Y/X$ （ $X\neq 0$ ）：

f_Z(z) = \int_{-\infty}^{+\infty}|x|\,f(x, xz)\dd x

独立时： $f_Z(z) = \int|x|f_X(x)f_Y(xz)\dd x$ 。

$X^2+Y^2$ 的分布： $X, Y\sim N(0, 1)$ 独立 $\Rightarrow X^2+Y^2\sim\chi^2(2) = E(1/2)$ 。

密度： $f(z) = \dfrac{1}{2}e^{-z/2},\ z > 0$ 。

这条结论在多年大题压轴里被反复利用，特别是涉及"求圆内点到原点距离的分布"的几何题。

例（旋转对称）：

(X, Y)\sim N(0, 1, 0, 1, 0)

（独立），求

R = \sqrt{X^2+Y^2}

的分布。

解

$R^2 = X^2+Y^2\sim E(1/2)$ 。 $F_{R^2}(t) = 1-e^{-t/2}$ 。

$F_R(r) = P(R\leq r) = P(R^2\leq r^2) = 1-e^{-r^2/2},\ r > 0$

$f_R(r) = re^{-r^2/2}$ —— 这是 Rayleigh 分布！

卷积分段错误：忘记 $f_X$ 和 $f_Y(z-x)$ 必须同时非零，画图！
线性变换忘除以系数：周长 $Z = 2(X+Y)$ 的密度要 $\frac{1}{2}f_W(z/2)$
min 公式："1 减各自补集乘积"，注意补集
可加性忘加独立性条件：所有可加性都需要独立
二项可加要求同 $p$ ： $B(n_1, p_1) + B(n_2, p_2)$ 不等于 $B(n_1+n_2, ?)$
指数无可加性：但视为 $\Gamma(1, \lambda)$ 时有
商分布忘 $|x|$ 系数： $f_Z(z) = \int|x|f(x, xz)\dd x$

记忆口诀：

"和用卷积，max 乘 $F$ ，min 用 $1-(1-F)^n$ "
"可加性永远需要独立"
"周长记得乘 1/2"
"两 N(0,1) 平方和 = $\chi^2(2) = E(1/2)$ "

题型决策树（按 $Z$ 类型）

$Z$ 类型	方法	关键
$Z = X+Y$ （独立）	卷积 $\int f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$	画图分段
$Z = X+Y$ （不独立）	$\int f(x, z-x)\dd x$	用联合密度
$Z = \max(X_i)$	$F_Z = \prod F_{X_i}$	独立时直接
$Z = \min(X_i)$	$F_Z = 1-\prod(1-F_{X_i})$	用补集
$Z = X/Y$	$\int\|x\|f(x,xz)\dd x$	带 $\|x\|$
$Z = X-Y$ 或 $X\cdot Y$	分布函数法	分段
$Z = a(X+Y)$ 周长型	先卷积，再线性变换	记得乘 $1/a$

必背二级结论（卷积速查）

$U(0,1)+U(0,1) =$ 三角分布（密度 $z$ 在 $[0,1]$ ， $2-z$ 在 $[1,2]$ ）
独立正态相加保正态： $X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$
独立 Poisson 相加保 Poisson： $P(\lambda_1)+P(\lambda_2) = P(\lambda_1+\lambda_2)$
独立同 $p$ 二项相加： $B(n_1,p)+B(n_2,p) = B(n_1+n_2,p)$ （必须同 $p$ ！）
$n$ 个独立 $E(\lambda)$ 取 min： $\sim E(n\lambda)$ （参数变大）
$X^2+Y^2$ （ $X,Y\sim N(0,1)$ 独立）： $\sim\chi^2(2) = E(1/2)$ ，密度 $\frac{1}{2}e^{-z/2}$
$\sqrt{X^2+Y^2}$ （ $X,Y\sim N(0,1)$ 独立）：Rayleigh 分布，密度 $re^{-r^2/2},\,r>0$
$n$ 个独立 $E(\lambda)$ 之和： $\sim\Gamma(n,\lambda)$ ，密度 $\frac{\lambda^n}{(n-1)!}x^{n-1}e^{-\lambda x}$
独立 $\chi^2$ 相加： $\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2) = \chi^2(n_1+n_2)$
$n$ 个 i.i.d. $U(0,1)$ 中位数渐近 $N(1/2, 1/(4n))$ （CLT 应用）

速算与解题技巧

看到独立正态相加，直接套可加性，不用卷积
卷积分段技巧：找 $f_X(x) > 0$ 和 $f_Y(z-x) > 0$ 同时成立的 $(x,z)$ 区域，画图分段
周长 / 距离 / 倍数：先求 $X+Y$ 或 $\sqrt{X^2+Y^2}$ ，再用变量代换
" $n$ 个元件串联取 min" → 直接 $E(n\lambda)$
检查是否独立：可加性必须独立！否则 $D(X+Y)\neq D(X)+D(Y)$
验算技巧：算完 $f_Z$ 后积分 = 1 检验

常错"小坑"清单

卷积分段错误：忘记 $f_X(x)$ 与 $f_Y(z-x)$ 同时非零的范围 → 画图！
线性变换忘除以系数：周长 $Z = 2(X+Y)$ 的密度要乘 $1/2$ （ $Z/2 = X+Y$ 的卷积）
$\min$ 公式记错：" $1$ 减各自补集乘积"，不要忘减号
用可加性忘加独立性条件：所有可加性都需要独立
二项可加要求同 $p$ ： $B(n_1,p_1)+B(n_2,p_2)$ 不是 $B(n_1+n_2,?)$
指数无可加性：但视为 $\Gamma(1,\lambda)$ 时有

题 ★★★ 23-24-2 第 15 题（矩形周长，线性变换）：矩形两边长

X,Y\sim U(0,1)

独立，周长

Z=2(X+Y)

，求

Z

的密度。

解

第一步 先求 $W=X+Y$ 的密度（三角分布）： $f_W(w)=w\ (0<w<1)$ ， $f_W(w)=2-w\ (1<w<2)$ 。

第二步 $Z=2W$ 是线性变换， $f_Z(z)=\dfrac{1}{2}f_W\!\big(\dfrac{z}{2}\big)$ （乘 $1/|a|=1/2$ ）：

$0<z<2$ （对应 $0<w<1$ ）： $f_Z(z)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{z}{2}=\dfrac{z}{4}$ ；
$2<z<4$ （对应 $1<w<2$ ）： $f_Z(z)=\dfrac{1}{2}\big(2-\dfrac{z}{2}\big)=1-\dfrac{z}{4}$ ；
其它 $f_Z(z)=0$ 。

验算： $\int_0^2\frac{z}{4}\dd z+\int_2^4(1-\frac{z}{4})\dd z=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ ✓。

陷阱：忘乘 $1/2$ 会得到积分 $=2\neq1$ 的"密度"，立即露馅——所以养成算完积分验 $=1$ 的习惯。

题 ★★★ 23-24-1 第 17 题（Rayleigh 型， $5$ 次取 min）：某型号

5

个独立同型元件，单个寿命

X\sim

Rayleigh，分布函数

F(x)=1-e^{-x^2/2}\ (x>0)

。系统取

N=\min(X_1,\dots,X_5)

（串联，最先失效者决定），求

N

的分布与密度。

解

$\min$ 用" $1-$ 各自补集乘积"： $1-F_N(n)=\prod_{i=1}^5[1-F(n)]=\big(e^{-n^2/2}\big)^5=e^{-5n^2/2}$ 。

故 $F_N(n)=1-e^{-5n^2/2}\ (n>0)$ ，密度 $f_N(n)=F_N'(n)=5n\,e^{-5n^2/2}\ (n>0)$ 。

结论： $5$ 个 i.i.d. Rayleigh 取 min 仍是 Rayleigh 型，参数从 $1$ 放大到 $5$ （指数里乘 $5$ ）。和指数分布"取 min 参数乘 $n$ "是同一回事。

题 ★★★ 22-23-2 第 15 题（不独立 $Z=X+2Y$ ）：

(X,Y)

联合密度

f(x,y)

给定（非独立），求

Z=X+2Y

的密度。

解

不独立 $\Rightarrow$ 不能用卷积，用一般和公式（分布函数法 / 直接换元）：

f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty} f\!\Big(z-2y,\ y\Big)\dd y

即固定 $Z=z$ ，令 $x=z-2y$ 代回联合密度，对 $y$ 积分；积分限由" $(z-2y,y)$ 落在 $f>0$ 的支撑内"确定（务必画区域图分段）。

对照：若 $X,Y$ 独立才可写成卷积 $\int f_X(z-2y)f_Y(y)\dd y$ ；本题非独立，必须保留联合密度 $f(z-2y,y)$ 。

⭐ 一页背全（题 15 全靠这几条）

和（独立）卷积： $f_{X+Y}(z)=\displaystyle\int f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$ ；和（不独立）： $f_Z(z)=\displaystyle\int f(x,z-x)\dd x$ 。
线性变换： $Z=aW+b\Rightarrow f_Z(z)=\dfrac{1}{|a|}f_W\!\big(\dfrac{z-b}{a}\big)$ （周长 $Z=2W$ 乘 $1/2$ ）。
$\max$ （独立）： $F_M(z)=\prod F_{X_i}(z)$ ，i.i.d. 为 $F(z)^n$ 。
$\min$ （独立）： $F_N(z)=1-\prod[1-F_{X_i}(z)]$ ，i.i.d. 为 $1-(1-F(z))^n$ 。
商： $f_{Y/X}(z)=\displaystyle\int|x|\,f(x,xz)\dd x$ （别漏 $|x|$ ）。
可加性（须独立）： $N+N=N$ （参数相加）、 $P(\lambda_1)+P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2)$ 、 $B(n_1,p)+B(n_2,p)=B(n_1+n_2,p)$ （同 $p$ ）、 $\chi^2(m)+\chi^2(n)=\chi^2(m+n)$ 、 $\Gamma$ 同 $\beta$ 可加；指数无可加性（但 $n$ 个 $E(\lambda)$ 之和 $\sim\Gamma(n,\lambda)$ ）。
必记导出： $n$ 个 i.i.d. $E(\lambda)$ 取 min $\sim E(n\lambda)$ ； $X,Y\sim N(0,1)$ 独立 $\Rightarrow X^2+Y^2\sim\chi^2(2)=E(1/2)$ ， $\sqrt{X^2+Y^2}\sim$ Rayleigh（密度 $re^{-r^2/2}$ ）。

🔴 你在这卡过（卷积分段 + 独立性前提 + 取 min/次序统计量，关联薄弱点精析 #3/#5）：

卡点 1 —— 线性变换忘乘 $1/|a|$ （周长 $Z=2(X+Y)$ 题）：直接拿 $W=X+Y$ 的三角密度当 $Z$ 的密度，漏了 $1/2$ 。
怎么破：凡是 $Z=aW$ （倍数/周长/缩放）都要乘 $\dfrac{1}{|a|}$ ；算完密度立刻积分验 $=1$ ——忘乘 $1/2$ 时积分会算出 $2$ ，当场暴露。本页第九节那道题就给了验算示范。
卡点 2 —— 不独立也硬套卷积（关联你 5/11 协方差遗忘、 $D(X+Y)$ 误用）： $Z=X+2Y$ 当 $X,Y$ 不独立时写成 $\int f_X\cdot f_Y$ 。
怎么破：卷积是独立专属；不独立用一般公式 $f_Z(z)=\int f(z-2y,y)\dd y$ ，保留联合密度。同理 $\D(X+Y)=\D X+\D Y$ 也只在不相关时成立，一般要加 $2\Cov$ 。
卡点 3 —— min 公式写反 / 次序统计量推导（你 5/27、5/29 专门追问 $X_{(1)}$ 密度怎么来）： $\min$ 要用" $1-$ 补集连乘"，不是直接连乘 $F$ 。
怎么破：背 $P(\min>x)=[1-F(x)]^n$ （最小值 $>x$ $\Leftrightarrow$ 每个都 $>x$ ），再求导得 $f_{\min}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$ ；指数/Rayleigh 取 min 参数放大（本页第九节 Rayleigh 5 次 min = 参数乘 5 即是此理）。

3.5 多维随机变量函数的分布 ⭐⭐⭐

一、分布函数法（万能）

二、和的分布：卷积公式 ⭐

三、可加性分布表（必背！）

四、极值分布

五、商的分布

六、必记结论 ★★★

七、易错点清单

八、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型决策树（按 $Z$ 类型）

必背二级结论（卷积速查）

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

九、真题原型（题 15 同型多练）

十、必背块 · 函数分布速查

十一、🔴 你在这卡过

3.5 多维随机变量函数的分布 ⭐⭐⭐

一、分布函数法（万能）

二、和的分布：卷积公式 ⭐

三、可加性分布表（必背！）

四、极值分布

五、商的分布

六、必记结论 ★★★

七、易错点清单

八、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

题型决策树（按 ZZZ 类型）

必背二级结论（卷积速查）

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

九、真题原型（题 15 同型多练）

十、必背块 · 函数分布速查

十一、🔴 你在这卡过

题型决策树（按 $Z$ 类型）