4.1 数学期望 | 概率统计

离散型： $E(X) = \sum_k x_k p_k$ （绝对收敛 $\sum|x_k|p_k<\infty$ ）

连续型： $E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)\dd x$ （绝对收敛 $\int|x|f(x)\dd x<\infty$ ）

绝对收敛要求必不可少！否则期望不存在。

反例（Cauchy 分布）：

f(x) = \dfrac{1}{\pi(1+x^2)}

。期望积分

\int|x|/(\pi(1+x^2))\dd x

发散，期望不存在。

⭐ Law Of The Unconscious Statistician

对 $Y = g(X)$ ，不需要先求 $Y$ 的分布：

E[g(X)] = \sum_k g(x_k)p_k\quad\text{或}\quad\int g(x)f(x)\dd x

二维：

E[g(X, Y)] = \sum_{i,j}g(x_i, y_j)p_{ij}\quad\text{或}\quad\iint g(x, y)f(x, y)\dd x\dd y

例：

X\sim P(\lambda)

，求

E(3^X)

。

解

E(3^X) = \sum_{k=0}^\infty 3^k\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum\dfrac{(3\lambda)^k}{k!} = e^{2\lambda}

$E(C) = C$ （常数）
$E(aX+b) = aE(X)+b$
线性性： $E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ （无需独立！）
$X, Y$ 独立 $\Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$ （反向不真）
$|E(X)|\leq E(|X|)$

⭐ 示性函数法（解题神器！）

对事件 $A$ 定义示性函数 $I_A = \begin{cases}1,&A\text{ 发生}\\0,&\text{否则}\end{cases}$

则 $E(I_A) = P(A)$ 。

用法：把"复杂计数随机变量"分解为示性函数求和，利用 $E$ 的线性性。

题 ★★（空盒数期望）：4 球随机独立放入 4 盒，求空盒数

X

的期望。

解

令 $X_i = I_{\{\text{盒 }i\text{ 空}\}}$ ， $X = X_1+X_2+X_3+X_4$ 。

$P(X_i = 1) = (3/4)^4 = 81/256$ 。所以 $E(X) = 4\cdot 81/256 = 81/64$ 。

若直接列分布律会非常麻烦，示性函数法瞬间秒杀。

题 ★★（hat-matching，多年真题原型）：

n

个球编号放入

n

个盒子（一一对应）。配对数

X

的期望与方差。

解

$X = \sum X_i$ ， $X_i$ 是"第 $i$ 个盒配对"的示性。

$P(X_i = 1) = 1/n$ ， $E(X) = n\cdot 1/n = 1$ 。

$E(X_iX_j) = P(X_i = X_j = 1) = \dfrac{1}{n(n-1)}$ （ $i\neq j$ ）。

$E(X^2) = \sum E(X_i^2)+\sum_{i\neq j}E(X_iX_j) = n\cdot\dfrac{1}{n}+n(n-1)\cdot\dfrac{1}{n(n-1)} = 2$ 。

$D(X) = 2-1 = 1$ 。 $E(X) = D(X) = 1$ ，与 $n$ 无关！

这是 hat-matching 标志性结论，多年压轴题都会用。

真题原型 ★★（几何分布期望 · LOTUS 反向用）：重复独立试验，每次成功概率

p

，

X

为首次成功所需次数（

X\sim G(p)

）。求

E(X)

，并求

E(2^{-X})

（设

p

使级数收敛）。

解

(1) $E(X)$ ： $E(X)=\sum_{k=1}^{\infty}k(1-p)^{k-1}p$ 。令 $q=1-p$ ，利用 $\sum_{k\ge 1}kq^{k-1}=\dfrac{1}{(1-q)^2}$ ，得 $E(X)=p\cdot\dfrac{1}{p^2}=\dfrac1p$ 。

(2) LOTUS： $E(2^{-X})=\sum_{k=1}^{\infty}2^{-k}q^{k-1}p=\dfrac{p}{q}\sum_{k\ge1}\Big(\dfrac q2\Big)^k=\dfrac pq\cdot\dfrac{q/2}{1-q/2}=\dfrac{p}{2-q}=\dfrac{p}{1+p}$ 。

验证： $p=1$ 时 $X\equiv1$ ， $E(2^{-X})=1/2=\dfrac{1}{1+1}$ ✓。这是"识别分布 + LOTUS 直接对级数求和"的标准压轴步骤。

分布	参数	$E(X)$
0-1	$p$	$p$
$B(n, p)$	$n, p$	$np$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$
$G(p)$	$p$	$1/p$
$U(a, b)$	$a, b$	$(a+b)/2$
$E(\lambda)$	$\lambda$	$1/\lambda$
$N(\mu, \sigma^2)$	$\mu, \sigma^2$	$\mu$
$\chi^2(n)$	$n$	$n$

二项分布 $E(X) = np$ 的推导：

$X = X_1 + \cdots + X_n$ ，每 $X_i\sim B(1, p)$ ， $E(X_i) = p$ 。

由线性性 $E(X) = nE(X_i) = np$ 。用示性函数法 1 行搞定。

Poisson $E(X) = \lambda$ 的推导：

E(X) = \sum_{k=0}^\infty k\dfrac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty\dfrac{\lambda^k}{(k-1)!} = \lambda e^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty\dfrac{\lambda^j}{j!} = \lambda e^{-\lambda}\cdot e^\lambda = \lambda

正态 $E(X) = \mu$ 的推导：见 ch2-3，用变量代换

y = x-\mu

后奇偶性即得。

指数 $E(X) = 1/\lambda$ 的推导：

E(X) = \int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x}\dd x = \dfrac{1}{\lambda}\quad(\text{分部积分})

必须绝对收敛，否则期望不存在（Cauchy 分布陷阱）
$E(XY) = E(X)E(Y)$ 仅独立时成立，不能乱用
$E[g(X)]\neq g(E(X))$ （除 $g$ 线性外）
$E(X^2)\neq[E(X)]^2$ —— "平方的期望" vs "期望的平方"
$E(X+Y) = E(X)+E(Y)$ 不需要独立（这条多人忘）
用示性函数法求计数期望（配对数、空盒数、首达时间等）
级数/积分求 $E$ 时先判收敛再换序：交换求和与积分次序、提常数前先确认绝对收敛，否则结论可能错
$E(3^X)$ 这类指数型不要硬展开：凑成已知分布的归一化级数（如 Poisson 的 $\sum (3\lambda)^k/k!=e^{3\lambda}$ ）一步到位

⭐ 必背速查（期望）

定义： $E(X)=\sum_k x_kp_k$ （离散）/ $\int x f(x)\dd x$ （连续），均需绝对收敛
LOTUS： $E[g(X)]=\sum g(x_k)p_k$ 或 $\int g(x)f(x)\dd x$ （不必先求 $g(X)$ 分布）
线性性（免费，无需独立）： $E(aX+bY+c)=aE(X)+bE(Y)+c$
独立才有： $X\perp Y\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y)$ （反之不真）
示性函数： $E(I_A)=P(A)$ ；计数量 $X=\sum I_{A_i}\Rightarrow E(X)=\sum P(A_i)$
七大分布 $E$ ：0-1→ $p$ ； $B(n,p)$ → $np$ ； $P(\lambda)$ → $\lambda$ ； $G(p)$ → $1/p$ ； $U(a,b)$ → $\frac{a+b}2$ ； $E(\lambda)$ → $1/\lambda$ ； $N(\mu,\sigma^2)$ → $\mu$ ； $\chi^2(n)$ → $n$
hat-matching： $n$ 球归位配对数 $X$ ， $E(X)=1$ （与 $n$ 无关）
$E|X|$ （ $X\sim N(0,\sigma^2)$ ） $=\sigma\sqrt{2/\pi}$

记忆口诀：

" $E$ 是线性算子，加减无障碍"
" $E(XY) = E(X)E(Y)$ 需要独立"
"示性函数 = $E(I_A) = P(A)$ ，计数神器"
"LOTUS： $E[g(X)] = \int g(x)f(x)\dd x$ ，无需求 $Y$ 分布"

常用计算技巧

LOTUS： $E[g(X)] = \int g(x)f(x)\dd x$ —— 不用求 $Y = g(X)$ 的分布！
示性函数法： $X = \sum X_i$ （ $X_i = I_{A_i}$ ）， $E(X) = \sum P(A_i)$
独立性： $X\perp Y\Rightarrow E(XY) = E(X)E(Y)$
分部积分：求 $E$ 涉及 $xe^{-\lambda x}$ 等

必背二级结论

七大分布期望：0-1→ $p$ ； $B(n,p)$ → $np$ ； $P(\lambda)$ → $\lambda$ ； $G(p)$ → $1/p$ ； $U(a,b)$ → $(a+b)/2$ ； $E(\lambda)$ → $1/\lambda$ ； $N(\mu,\sigma^2)$ → $\mu$
$\chi^2(n)$ ： $E = n, D = 2n$
线性性： $E(aX+bY+c) = aE(X)+bE(Y)+c$ （无需独立）
$E(XY) = E(X)E(Y)$ ：要独立或不相关
示性函数： $E(I_A) = P(A)$
hat-matching： $n$ 个球放入 $n$ 个盒，配对数 $X$ 满足 $E(X) = 1, D(X) = 1$ ，与 $n$ 无关
$E(e^{aX})$ 矩母函数：用于计算 $E(X^k)$
Cauchy 分布期望不存在（ $f = 1/(\pi(1+x^2))$ ）
$E[g(X,Y)] = \iint g(x,y)f(x,y)\dd x\dd y$ （二维 LOTUS）
$E|X|$ （ $X\sim N(0,\sigma^2)$ ）： $\sigma\sqrt{2/\pi}$

速算与解题技巧

识别分布 → 直接套 $E$
计数期望用示性函数：空盒数、配对数、首次成功等
$E(\sum X_i) = \sum E(X_i)$ 无需独立，先拆再算
$E(X+a) = E(X)+a$ ； $E(aX) = aE(X)$ ，常数无关
对称分布的奇函数期望 = 0（如 $N(0,1)$ 的 $X^3$ ）
$E(X)$ 不存在的判别： $\int|x|f(x)\dd x$ 是否收敛

常错"小坑"清单

$E(XY) = E(X)E(Y)$ 乱用：必须独立
$E[g(X)] \neq g(E(X))$ （除 $g$ 线性外）
$E(X^2) \neq [E(X)]^2$
绝对收敛要求：否则期望不存在
$E(X+Y)$ 不需要独立（线性性是免费的）

4.1 数学期望 ⭐⭐⭐

一、定义

二、LOTUS（随机变量函数的期望）

三、期望的性质（必背！）

四、七大分布期望总表（必背！）

五、关键推导（满分笔记）

六、易错点清单

七、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

常用计算技巧

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单