4.2 方差 | 概率统计

D(X) = E[(X-EX)^2] = E(X^2)-[E(X)]^2

标准差 $\sigma_X = \sqrt{D(X)}$ ，与 $X$ 同量纲。

标准化随机变量

X^* = \dfrac{X-EX}{\sigma_X},\quad E(X^*) = 0,\;D(X^*) = 1

D(X) = 0\Rightarrow X

几乎处处等于

E(X)

（即

P(X=EX) = 1

）。

$D(C) = 0$ （常数无方差）
$D(CX) = C^2 D(X)$ （注意 $C^2$ ，不是 $|C|$ ）
$D(X+C) = D(X)$ （平移不改变方差）
$D(X\pm Y) = D(X)+D(Y)\pm 2\Cov(X, Y)$
$X, Y$ 独立 $\Rightarrow D(X+Y) = D(X)+D(Y)$ ； $D(X-Y) = D(X)+D(Y)$ （同号！）
多个独立： $D(\sum a_iX_i) = \sum a_i^2 D(X_i)$

易错：

D(X-Y)\neq D(X)-D(Y)

！独立时仍是

D(X)+D(Y)

，方差永远非负，加减号都变加。

分布	$E(X)$	$D(X)$
0-1	$p$	$p(1-p)$
$B(n, p)$	$np$	$np(1-p)$
$P(\lambda)$	$\lambda$	$\lambda$ （= $E$ ！）
$G(p)$	$1/p$	$(1-p)/p^2$
$U(a, b)$	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$
$E(\lambda)$	$1/\lambda$	$1/\lambda^2$
$N(\mu, \sigma^2)$	$\mu$	$\sigma^2$
$\chi^2(n)$	$n$	$2n$

题 ★（独立正态相加减）：

X\sim N(1, 0.5),\,Y\sim N(0, 0.5)

独立，求

E|X-Y|

。

解

$Z = X-Y\sim N(1, 1)$ 。令 $W = Z-1\sim N(0, 1)$ ， $|Z| = |W+1|$ 。

$E|Z| = \int(z+1)\varphi(z)\dd z$ （分段）= ... ≈ 1.16（具体计算见教材）。

题 ★★★ 配对数方差（hat-matching）：

n

个球编号放入

n

个盒（一一对应），配对数

X

。求

E(X), D(X)

。

解

$X = \sum X_i$ ， $X_i$ 是"盒 $i$ 配对"的示性。

$E(X_i) = 1/n$ ， $E(X) = 1$ 。

$E(X_iX_j) = 1/(n(n-1))$ （ $i\neq j$ ）。

$E(X^2) = n\cdot\frac{1}{n}+n(n-1)\cdot\frac{1}{n(n-1)} = 1+1 = 2$ 。

$D(X) = E(X^2)-[E(X)]^2 = 2-1 = 1$ 。 $E = D = 1$ ，与 $n$ 无关！

题（满分笔记重点公式）：

X_1, \ldots, X_n

i.i.d.

\sim

任意分布，

E(X) = \mu, D(X) = \sigma^2

。求

E(\bar X^2)

。

解

E(\bar X^2) = D(\bar X)+(E(\bar X))^2 = \dfrac{\sigma^2}{n}+\mu^2

这是 23-24 系列连考 3 套的关键公式！ 用于判断 $\bar X^2$ 是否为 $\mu^2$ 的无偏估计。

真题原型 ★★（公式法求方差 · 连续型）：

X\sim U(0,2)

（即

f(x)=\frac12,\,0<x<2

），求

D(X)

与

D(X^2)

。

解

用 $D=E(X^2)-(EX)^2$ ，避免定义法。

$E(X)=1$ ， $E(X^2)=\int_0^2 x^2\cdot\tfrac12\dd x=\tfrac12\cdot\tfrac{8}{3}=\tfrac43$ 。故 $D(X)=\tfrac43-1=\tfrac13$ ，与公式 $\frac{(b-a)^2}{12}=\frac{4}{12}=\frac13$ 吻合 ✓。

$E(X^4)=\int_0^2 x^4\cdot\tfrac12\dd x=\tfrac12\cdot\tfrac{32}{5}=\tfrac{16}{5}$ 。故 $D(X^2)=E(X^4)-[E(X^2)]^2=\tfrac{16}{5}-\tfrac{16}{9}=\tfrac{144-80}{45}=\tfrac{64}{45}$ 。

套路：求 $g(X)$ 的方差永远 $D(g)=E(g^2)-(E g)^2$ ，分别按 LOTUS 算两个矩。

$D(X-Y) = D(X)+D(Y)$ 独立时（同号！），不是 $D(X)-D(Y)$
$D(aX) = a^2 D(X)$ （不是 $|a|D(X)$ 或 $aD(X)$ ）
$E(X^2)\neq[E(X)]^2$ （永远）
用 $D = E(X^2)-[E(X)]^2$ 通常比定义法简洁
独立性条件遗漏 → 不能用 $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ （除以 $n$ ，不是 $\sqrt n$ ）
求 $D(g(X))$ 别套错：必须 $E(g^2)-(Eg)^2$ ，不能写成 $g(D(X))$ 或对 $D(X)$ 做函数变换
$\bar X$ 与 $S^2$ 的"除数"易混： $\bar X$ 除 $n$ 、样本方差 $S^2$ 除 $n-1$ （才无偏），别写反

⭐ 必背速查（方差）

核心： $D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$ （计算首选）； $\sigma_X=\sqrt{D(X)}$
性质： $D(C)=0$ ； $D(CX)=C^2D(X)$ ； $D(X+C)=D(X)$
独立同号： $X\perp Y\Rightarrow D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)$ （加减都变加！）
一般： $D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm2\Cov(X,Y)$ ； $D(\sum a_iX_i)=\sum a_i^2D(X_i)$ （独立）
七大分布 $D$ ：0-1→ $p(1-p)$ ； $B(n,p)$ → $np(1-p)$ ； $P(\lambda)$ → $\lambda$ ； $G(p)$ → $\frac{1-p}{p^2}$ ； $U(a,b)$ → $\frac{(b-a)^2}{12}$ ； $E(\lambda)$ → $1/\lambda^2$ ； $N(\mu,\sigma^2)$ → $\sigma^2$ ； $\chi^2(n)$ → $2n$
样本： $D(\bar X)=\sigma^2/n$ ； $E(\bar X^2)=\sigma^2/n+\mu^2$ ； $E(S^2)=\sigma^2$ （无偏）
hat-matching：配对数 $D(X)=1$ （与 $n$ 无关）

记忆口诀：

" $D = E(X^2) - (EX)^2$ "（计算神器）
"独立 $D(X\pm Y) = D(X) + D(Y)$ 永远加"
" $D(\bar X) = \sigma^2/n$ ，除以 $n$ "
" $E(\bar X^2) = \sigma^2/n + \mu^2$ ，连考 3 套必背"

计算 $D(X)$ 的两条路径

定义法： $D(X) = E[(X-EX)^2]$
公式法（更常用）： $D(X) = E(X^2)-(E(X))^2$

必背二级结论

七大分布方差（必背）：0-1→ $p(1-p)$ ； $B(n,p)$ → $np(1-p)$ ； $P(\lambda)$ → $\lambda$ ； $G(p)$ → $(1-p)/p^2$ ； $U(a,b)$ → $(b-a)^2/12$ ； $E(\lambda)$ → $1/\lambda^2$ ； $N(\mu,\sigma^2)$ → $\sigma^2$ ； $\chi^2(n)$ → $2n$
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ （任意分布）
$E(\bar X^2) = \sigma^2/n + \mu^2$ （连考 3 套关键公式！）
$E(S^2) = \sigma^2$ （任意分布无偏）
性质： $D(C) = 0$ ； $D(CX) = C^2 D(X)$ ； $D(X+C) = D(X)$
独立加和： $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$ ； $D(X-Y) = D(X)+D(Y)$ （同号！）
一般加和： $D(X\pm Y) = D(X)+D(Y)\pm 2\Cov(X,Y)$
hat-matching： $E(X) = D(X) = 1$ ，与 $n$ 无关
$D(\sum a_iX_i) = \sum a_i^2 D(X_i)$ （独立时）
$D(X) = 0\Rightarrow X = E(X)$ 几乎必然

速算与解题技巧

识别分布 → 直接套 $D$
用 $D = E(X^2)-(EX)^2$ 而非定义法，通常更简洁
独立加减都是 $D(X)+D(Y)$ （同号！）
$D(\bar X)$ 永远是 $\sigma^2/n$ ，CLT、估计都用
$X^2\sim\sigma^2\chi^2(1)$ （ $X\sim N(0,\sigma^2)$ ），所以 $D(X^2) = 2\sigma^4$
$E(\bar X^2)$ 拆分：永远是 $D(\bar X) + (E(\bar X))^2 = \sigma^2/n + \mu^2$

常错"小坑"清单

$D(X-Y) = D(X)+D(Y)$ 独立时（同号！）—— 不是减号
$D(aX) = a^2 D(X)$ —— 不是 $|a|D(X)$
$E(X^2)\neq[E(X)]^2$
$D(\bar X)$ 分母是 $n$ 不是 $\sqrt n$
$E(\bar X^2) = \sigma^2/n + \mu^2$ 漏 $\mu^2$
独立条件遗漏：非独立时要加 $2\Cov$

4.2 方差 ⭐⭐

一、方差与标准差

二、方差的性质（必背）

三、七大分布方差总表（必背！）

四、典型例题

五、易错点清单

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

计算 $D(X)$ 的两条路径

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

4.2 方差 ⭐⭐

一、方差与标准差

二、方差的性质（必背）

三、七大分布方差总表（必背！）

四、典型例题

五、易错点清单

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

计算 D(X)D(X)D(X) 的两条路径

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

计算 $D(X)$ 的两条路径