4.3 协方差与相关系数

⭐ 定义

\Cov(X, Y) = E[(X-EX)(Y-EY)] = E(XY)-E(X)E(Y)

$\Cov(X, X) = D(X)$ 。

协方差的性质

对称： $\Cov(X, Y) = \Cov(Y, X)$
双线性： $\Cov(aX+c, bY+d) = ab\,\Cov(X, Y)$ （常数无影响）
$\Cov(X\pm Y, Z) = \Cov(X, Z)\pm\Cov(Y, Z)$
方差公式： $D(X\pm Y) = D(X)+D(Y)\pm 2\Cov(X, Y)$
独立 $\Rightarrow\Cov = 0$ （反向不真）
$|\Cov(X,Y)|\leq\sqrt{D(X)D(Y)}$ （Cauchy-Schwarz）

⭐ 速算公式（必背）

\Cov(X, Y) = \dfrac{1}{2}[D(X+Y)-D(X)-D(Y)] = \dfrac{1}{2}[D(X)+D(Y)-D(X-Y)]

用途：若直接算 $E(XY)$ 困难，可通过 $D(X\pm Y)$ 反推。

\rho_{XY} = \dfrac{\Cov(X, Y)}{\sqrt{D(X)D(Y)}}

Cauchy-Schwarz： $|\rho_{XY}|\leq 1$ 。

$|\rho| = 1\Leftrightarrow$ $X, Y$ 有线性关系 $Y = aX+b$ 几乎处处。 $\rho = 1$ 同向、 $\rho = -1$ 反向。

⭐ 不相关 ⇔ 四种等价说法

$\rho_{XY} = 0$
$\Cov(X, Y) = 0$
$E(XY) = E(X)E(Y)$
$D(X+Y) = D(X)+D(Y)$

这四个说法完全等价。考试常给一个让你判断其他。

线性预测的最优解

用 $a+bX$ 预测 $Y$ ，使均方误差 $E[(Y-a-bX)^2]$ 最小：

\hat b = \rho\dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X},\quad\hat a = EY-\hat b\,EX

最优均方误差 $= D(Y)(1-\rho^2)$ 。这是回归直线，与二维正态条件均值一致。

独立 ⇒ 不相关，反之不真。

例外：二维正态 $(X, Y)\sim N(\cdots; \rho)$ 时，

\text{独立}\Leftrightarrow\text{不相关}\Leftrightarrow\rho = 0

三者完全等价（仅在此分布下！）。

反例 1（高频考！ $\cos\theta + \sin\theta$ ）：

\theta\sim U(0, 2\pi)

，

X = \cos\theta,\,Y = \sin\theta

。

分析

$E(X) = \int_0^{2\pi}\cos\theta/(2\pi)\dd\theta = 0$ ； $E(Y) = 0$ 。

$E(XY) = E(\cos\theta\sin\theta) = \dfrac{1}{2}E(\sin 2\theta) = 0$ 。 $\Cov = 0$ ， $\rho = 0$ ，不相关。

但 $X^2+Y^2 = 1$ ，存在非线性关系，不独立！

多年真题考此反例：选择题 " $X, Y$ 不相关 + $X, Y$ 独立 + $D(X-Y) = D(X)+D(Y)$ "，正确者除独立外都对。

反例 2（双侧指数）：

X

密度

f(x) = \dfrac{1}{2}e^{-|x|}

，

Y = |X|

。

分析

$E(X) = 0$ （奇）； $E(XY) = E(X|X|) = 0$ （奇 × 偶 = 奇）。 $\Cov(X, Y) = 0$ ，不相关。

但 $Y$ 完全由 $X$ 决定，绝对不独立。

反例 3（单位圆均匀）：

(X, Y)

在单位圆均匀分布。

分析

$E(X) = E(Y) = 0$ （对称）； $E(XY) = \iint_{x^2+y^2\leq 1}xy/\pi\dd x\dd y = 0$ （被积奇）。不相关。

但 $f(x, y) = 1/\pi$ 在单位圆， $f_X(x) = 2\sqrt{1-x^2}/\pi$ ， $f_X\cdot f_Y\neq f$ ，不独立。

多年真题以此为背景。

例（夹角 $\rho$ 公式）：

\theta\sim U(0, 2\pi)

，

X = \cos\theta,\,Y = \cos(\theta+\alpha)

。求

\rho_{XY}

。

解

$E(X) = E(Y) = 0$ 。 $D(X) = E(X^2) = E(\cos^2\theta) = 1/2$ ，同 $D(Y) = 1/2$ 。

$E(XY) = E[\cos\theta\cos(\theta+\alpha)] = \dfrac{1}{2}E[\cos\alpha+\cos(2\theta+\alpha)] = \dfrac{\cos\alpha}{2}$ （第二项均值 0）。

\rho_{XY} = \dfrac{\cos\alpha/2}{\sqrt{1/2\cdot 1/2}} = \cos\alpha

$\alpha = 0$ 时 $\rho = 1$ ； $\alpha = \pi/2$ 时 $\rho = 0$ （不相关，但 $X^2+Y^2 = ?$ ）。

例（二维正态线性组合）：

(X, Y)\sim N(1, 4, 1, 4, 0.5)

。

Z = X+Y

，求

\rho_{XZ}

。

解

$D(X) = D(Y) = 4$ ， $\Cov(X, Y) = 0.5\cdot 2\cdot 2 = 2$ 。

$\Cov(X, Z) = \Cov(X, X+Y) = D(X)+\Cov(X, Y) = 4+2 = 6$

$D(Z) = D(X)+D(Y)+2\Cov = 4+4+4 = 12$

\rho_{XZ} = \dfrac{6}{\sqrt{4\cdot 12}} = \dfrac{6}{4\sqrt 3} = \dfrac{\sqrt 3}{2}

题 ★★（23-24-2 第 1/7 题， $N(0,1; 0,4; -0.5)$ ）：

(X, Y)\sim N(0, 1, 0, 4, -0.5)

。

求 $\rho_{XY}$ , $D(2X-Y)$ , $\Cov(X, 2X-Y)$
判断 $X, Y$ 独立性

解

$\rho_{XY} = -0.5$ （即参数）。 $\sigma_X = 1, \sigma_Y = 2$ ， $\Cov(X, Y) = -0.5\cdot 1\cdot 2 = -1$ 。

$D(2X-Y) = 4\cdot 1+4-2\cdot 2\cdot(-1) = 4+4+4 = 12$

$\Cov(X, 2X-Y) = 2D(X)-\Cov(X, Y) = 2-(-1) = 3$

二维正态下 $\rho\neq 0$ → 不独立（也不相关）。

这是 23-24-2 同时考两道选择题的"参数组合"。

真题原型 ★★★（22-23-2[10] 经典陷阱： $X+Y$ 与 $X-Y$ ）：

X\sim N(\mu,\sigma^2),\,Y\sim N(\mu,\sigma^2)

，

\rho_{XY}=-0.3

（只说边缘正态，没说联合正态）。判 4 命题：①

(X,Y)

服从二维正态；②

D(X-2Y)=6.2\sigma^2

；③

X+Y

与

X-Y

不相关；④

X+Y

与

X-Y

相互独立。

解

① 错：边缘正态 $\nRightarrow$ 联合正态。

② 对： $D(X-2Y)=D(X)+4D(Y)-2\cdot2\,\Cov(X,Y)=\sigma^2+4\sigma^2-4\rho\sigma^2=5\sigma^2-4(-0.3)\sigma^2=6.2\sigma^2$ 。

③ 对： $\Cov(X+Y,X-Y)=D(X)-D(Y)=0$ （同方差即成立，不需正态）→ 不相关。

④ 错：独立需联合正态，而①已说明不一定联合正态，不相关 $\nRightarrow$ 独立。

正确答案 ②③。教训：不相关 $\Rightarrow$ 独立这一步只在确认联合正态时成立；边缘各自正态不够。

🔴 你在这卡过（5/11 集中暴露）

5/11 你坦白"协方差啥的我都有点遗忘了""相关系数我完全忘记了"，并追问 $D(\sum X_i)$ 为什么不等于 $n^2\sigma^2$ （销量题栽过的坑）；5/17 又问 $\rho(X_i-\bar X,\,X_j-\bar X)$ 。

怎么破：

"相加" vs "乘 $n$ "分清： $n$ 个独立同分布相加 $D(\sum X_i)=n\sigma^2$ （有抵消）；同一变量放大 $n$ 倍 $D(nX)=n^2\sigma^2$ （无抵消，常数提取要平方）。 $\Rightarrow D(\bar X)=\frac1{n^2}\cdot n\sigma^2=\frac{\sigma^2}n$ 。
一般展开式背死： $D(\sum X_i)=\sum D(X_i)+2\sum_{i<j}\Cov(X_i,X_j)$ ；独立时交叉项全 $=0$ 。
零和约束副产物：因 $\sum(X_i-\bar X)=0$ ，有 $\rho(X_i-\bar X,\,X_j-\bar X)=-\dfrac{1}{n-1}$ （负相关，"零和游戏"逼偏差互相填坑）。
关键放缩： $|\Cov(X,Y)|\le\sqrt{D(X)D(Y)}$ （Cauchy-Schwarz），由此 $|\rho|\le1$ 。

"不相关 = 独立"——错！ 只有二维正态下等价
$\rho$ 分母：是 $\sqrt{D(X)\cdot D(Y)}$ 而不是 $D(X)\cdot D(Y)$
$\Cov$ 的双线性符号： $\Cov(X-Y, Z) = \Cov(X, Z)-\Cov(Y, Z)$ ，正负号要小心
常数项不影响 Cov： $\Cov(aX+c, bY+d) = ab\Cov(X, Y)$ ，但常数对 $E, D$ 有影响
$|\rho| = 1$ 是线性：不是说 $\rho$ 接近 1 就 "几乎线性"
用 $E(XY) = E(X)E(Y)$ 判不相关：要注意双线性可能让计算变易

记忆口诀：

"不相关 = $\rho = 0$ = $\Cov = 0$ = $E(XY) = E(X)E(Y)$ = $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$ "
"独立 → 不相关；反向只在二维正态"
" $|\rho| = 1$ ⇔ $Y = aX+b$ "

对 $(X_1, \ldots, X_n)$ ，协方差矩阵 $\mathbb C = (\Cov(X_i, X_j))$ 。

D\!\left(\sum t_iX_i\right) = \mathbf t^T\mathbb C\mathbf t

性质：对称 + 半正定。

$n$ 维正态下： $\mathbb C$ 对角 ⇔ 各 $X_i$ 相互独立（这是 $n$ 维正态的特殊性）。

题型决策树

问什么	用什么
$\Cov(X, Y)$	$E(XY)-E(X)E(Y)$ 或 $\frac{1}{2}[D(X+Y)-D(X)-D(Y)]$
$\rho_{XY}$	$\Cov(X,Y)/\sqrt{D(X)D(Y)}$
$\Cov(aX+bY, cZ+dW)$	双线性展开
判独立	不能用 $\rho=0$ （除二维正态）；用 $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$
判不相关	4 个等价说法任选其一

必背二级结论

速算公式： $\Cov(X,Y) = \frac{1}{2}[D(X+Y)-D(X)-D(Y)] = \frac{1}{2}[D(X)+D(Y)-D(X-Y)]$
双线性： $\Cov(aX+c, bY+d) = ab\Cov(X,Y)$ ，常数无关
分配： $\Cov(X+Y, Z) = \Cov(X, Z) + \Cov(Y, Z)$
$\Cov(X, X) = D(X)$
Cauchy-Schwarz： $|\Cov(X,Y)|\leq\sqrt{D(X)D(Y)}$ ， $|\rho|\leq 1$
$|\rho| = 1$ ⇔ $Y = aX+b$ a.s.（线性关系）
二维正态下"独立 ⇔ 不相关 ⇔ $\rho = 0$ "（仅此分布！）
不相关 4 个等价说法： $\rho=0\Leftrightarrow\Cov=0\Leftrightarrow E(XY)=E(X)E(Y)\Leftrightarrow D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
二维正态参数 $\rho$ 就是 $\rho_{XY}$ （无需另算）
线性回归：用 $a+bX$ 预测 $Y$ ，最优 $\hat b = \rho\sigma_Y/\sigma_X$ ，最优均方误差 $D(Y)(1-\rho^2)$

反例（不相关但不独立）—— 选择题高频

$\theta\sim U(0,2\pi),\,X=\cos\theta,\,Y=\sin\theta$ ： $\rho=0$ 但 $X^2+Y^2=1$
$f(x) = \frac{1}{2}e^{-|x|},\,Y=|X|$ ： $\Cov = 0$ 但 $Y$ 完全由 $X$ 决定
$(X,Y)$ 单位圆均匀分布： $\rho = 0$ 但 $X^2+Y^2\leq 1$
$\theta\sim U(0,2\pi),\,X=\cos\theta,\,Y=\cos(\theta+\alpha)$ ： $\rho = \cos\alpha$ （ $\alpha=\pi/2$ 时不相关）

速算与解题技巧

看到方差和 $D(X+Y) = D(X)+D(Y)$ → 立刻判为 " $X,Y$ 不相关"（不是独立！）
看到 $E(XY)\neq E(X)E(Y)$ → 立刻 $\Cov\neq 0$ ，不独立
二维正态求 $\rho_{aX+bY, cX+dY}$ ：先算 $\Cov$ 再除 $\sqrt{D\cdot D}$ ，简单代入
$\Cov$ 双线性展开：把"和、差、常数倍"展开成基本协方差的线性组合
$D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2\Cov(X,Y)$ —— 反求 $\Cov$ 的常用公式

常错"小坑"清单

" $\rho = 0$ → 独立"错！只有二维正态等价
$\rho$ 分母：是 $\sqrt{D(X)D(Y)}$ 不是 $D(X)D(Y)$
$\Cov$ 双线性正负号： $\Cov(X-Y, Z) = \Cov(X,Z)-\Cov(Y,Z)$
常数项不影响 Cov： $\Cov(aX+c, bY+d) = ab\Cov(X,Y)$
$|\rho|$ 接近 1 但 $\neq 1$ 时：不能说"几乎线性"，必须等于 1 才有线性关系

4.3 协方差与相关系数 ⭐⭐⭐

一、协方差

二、相关系数

三、独立 vs 不相关 ⭐⭐⭐

四、典型例题

五、易错点清单