4.4 高阶矩与协方差矩阵 ⭐

• $k$ 阶原点矩：$\mu_k = E(X^k)$
• $k$ 阶中心矩：$\nu_k = E[(X-EX)^k]$
• $\mu_1 = E(X)$；$\nu_2 = D(X)$
• 混合矩：$E(X^k Y^l)$
• 混合中心矩：$E[(X-EX)^k(Y-EY)^l]$；$(1, 1)$ 阶是 $\Cov(X, Y)$

$n$ 维随机变量 $(X_1, \ldots, X_n)$ 的协方差矩阵

性质：对称、半正定。对角元 $c_{ii} = D(X_i)$。

这是协方差矩阵的"几何意义"——线性组合的方差由二次型给出。

$n$ 维正态随机向量 $\mathbf X = (X_1, \ldots, X_n)^T\sim N(\boldsymbol\mu, \mathbb C)$ 密度：

$\mathbb C$ 正定，$\boldsymbol\mu$ 是均值向量。

1. 任意子集仍是低维正态
2. 任意线性组合 $\sum a_iX_i$ 服从一维正态
3. $X_i$ 相互独立 ⇔ 协方差矩阵 $\mathbb C$ 是对角矩阵（仅在正态下成立！）
4. 线性变换仍正态：$\mathbf Y = A\mathbf X+\mathbf b\sim N(A\boldsymbol\mu+\mathbf b, A\mathbb C A^T)$

1. 协方差矩阵性质：对称 + 半正定
2. $D(\sum t_iX_i) = \mathbf t^T\mathbb C\mathbf t$（二次型）
3. $n$ 维正态独立 ⇔ $\mathbb C$ 对角（仅在正态下！）
4. 任意子集仍是低维正态（性质 1）
5. 任意线性组合 $\sum a_iX_i$ 服从一维正态（性质 2）
6. 线性变换：$\mathbf Y = A\mathbf X+\mathbf b\sim N(A\boldsymbol\mu+\mathbf b, A\mathbb C A^T)$
7. $|\mathbb C|$ 是 $\sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$（二维正态）
8. $\mathbb C$ 半正定，所以 $|\mathbb C|\geq 0$；$\rho = \pm 1$ 时退化

• 协方差矩阵 $\mathbb C$：对称 + 半正定，对角元 $c_{ii} = \D(X_i)$。
• 二维正态协方差矩阵 $\mathbb C = \begin{pmatrix}\sigma_1^2&\rho\sigma_1\sigma_2\\\rho\sigma_1\sigma_2&\sigma_2^2\end{pmatrix}$，$|\mathbb C| = \sigma_1^2\sigma_2^2(1-\rho^2)$。
• $\Cov(X,Y) = \rho\sigma_1\sigma_2$（记成 $\rho\cdot$ 两个标准差之积）。
• 线性组合方差（二次型）：$\D(\sum t_iX_i) = \mathbf t^T\mathbb C\mathbf t$。
• $\D(aX+bY) = a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+2ab\,\rho\sigma_1\sigma_2$（系数平方，交叉项带 $2ab$）。
• $n$ 维正态：$X_i$ 相互独立 $\Leftrightarrow$ $\mathbb C$ 对角 $\Leftrightarrow$ 两两不相关（仅正态下！）。
• 线性变换：$\mathbf Y = A\mathbf X+\mathbf b\sim N(A\boldsymbol\mu+\mathbf b,\,A\mathbb C A^T)$。
• 不相关 4 等价：$\rho = 0\Leftrightarrow\Cov = 0\Leftrightarrow E(XY) = EX\cdot EY\Leftrightarrow\D(X+Y) = \D X+\D Y$。