5.1 Chebyshev 不等式

设 $E(X) = \mu,\,D(X) = \sigma^2$ 存在，则对任意 $\epsilon > 0$ ：

P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}

或等价：

P(|X-\mu|<\epsilon)\geq 1-\dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}

k\sigma

形式

P(|X-\mu|<k\sigma)\geq 1-\dfrac{1}{k^2}

$k = 2$ 时 $\geq 3/4$ ； $k = 3$ 时 $\geq 8/9$ 。

这是下界，正态分布实际更高（68/95/99.7%）。

本质：Chebyshev 不等式只需期望和方差存在，对任意分布都成立。是非常普适但粗糙的估计工具。

二、依概率收敛

$Y_n\xrightarrow{P}a$ 定义：对任意 $\epsilon > 0$ ，

\lim_{n\to\infty}P(|Y_n-a|\geq\epsilon) = 0

等价： $\lim P(|Y_n-a|<\epsilon) = 1$ 。

依概率收敛是"概率上越来越接近"，比几乎处处收敛弱。是大数定律的标准收敛形式。

三、典型例题

题 ★（粗糙估计）：射手 100 次得分

X

，

E = 910

，

D = 110.75

。估计

P(900<X<930)

。

解

$|X-910|<10$ （偏差很小）：

P(|X-910|<10)\geq 1-\dfrac{110.75}{100} < 0

无意义。Chebyshev 在偏差小时给出 $\leq 0$ 的下界没有用。这说明 Chebyshev 仅适合"较大偏差"的估计。

用 CLT： $P(900<X<930) = P(-0.95<Z<1.9)\approx 0.81$ （更精确）。

题（配对问题应用 Chebyshev）：

n

个球放入

n

个盒，配对数

S_n

。

E(S_n) = 1, D(S_n) = 1

。证明

\lim_{n\to\infty}P(|S_n-1|\geq n\epsilon) = 0

。

解

Chebyshev：

P(|S_n-1|\geq n\epsilon)\leq\dfrac{D(S_n)}{(n\epsilon)^2} = \dfrac{1}{n^2\epsilon^2}\to 0

即 $S_n/n\xrightarrow{P}0$ （相对而言配对率趋于 0）。

这是 20-21-2 第 18 题的核心思路。

四、考试要点

本节考点：

大题 16 必考"Chebyshev + CLT"双胞胎
证明依概率收敛（用 Chebyshev 是常规方法）
独立大数定律的工具

易错：

$\epsilon$ 是绝对偏差不是相对偏差
当 $\epsilon\leq\sigma$ 时下界 $\leq 0$ 无意义
Chebyshev 给"至少"或"下界"，CLT 给"近似精确"
$P(|X-EX|<k\sigma)\geq 1-1/k^2$ 易记错

五、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

必背二级结论

Chebyshev 不等式： $P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\sigma^2/\epsilon^2$
$k\sigma$ 形式： $P(|X-\mu|<k\sigma)\geq 1-1/k^2$
Chebyshev 给下界，CLT 给精确值
$\epsilon$ 是绝对偏差，不是相对偏差
依概率收敛定义： $\lim P(|Y_n-a|\geq\epsilon) = 0$
$\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$ （i.i.d. 大数定律）
$D(\bar X_n)\to 0$ 时 $\bar X_n\xrightarrow{P}E(\bar X_n)$ （Chebyshev 推论）

速算与解题技巧

"至少多少概率" → Chebyshev 给下界
"近似多少概率" → CLT
证明依概率收敛： $D(Y_n)\to 0$ 时用 Chebyshev
$k$ 越大下界越接近 1： $k=10$ 时 $\geq 99\%$
Chebyshev 在偏差小时无效（ $\epsilon\leq\sigma$ 时下界 $\leq 0$ ）

常错"小坑"清单

$\epsilon$ 是绝对偏差不是相对
$\epsilon\leq\sigma$ 时下界 $\leq 0$ 无意义
Chebyshev 是 $\geq$ 不是 $=$ （下界！）
大数律是依概率收敛不是 a.s.

六、历年真题原型

题 ★★★★ 21-22-2 第 9 题（10000 盏灯，Chebyshev 给下界）：每盏灯独立开灯，概率

0.7

。求"同时开着的灯数在

6900

到

7100

之间"的概率至少为多少。

解

设开灯数 $S = \sum_{i=1}^{10000}X_i\sim B(10000,0.7)$ 。

$E(S) = np = 10000\times 0.7 = 7000$ ， $\D(S) = np(1-p) = 10000\times 0.7\times 0.3 = 2100$ 。

事件 $\{6900\leq S\leq 7100\}$ 即 $\{|S-7000|\leq 100\}$ ，套 Chebyshev：

P(|S-7000|\leq 100)\geq 1-\dfrac{\D(S)}{100^2} = 1-\dfrac{2100}{10000} = 1-0.21 = 0.79

故概率至少 0.79（下界）。题目问"至少"就用 Chebyshev，不用 CLT。

题 ★★★ 配对问题 / 依概率收敛（20-21-2 第 18 题型，压轴常客）：

n

个球随机放入

n

个盒（每盒恰一球的全排列），配对数

S_n = \sum_{i=1}^n X_i

（

X_i

= 第

i

球归位）。已知

E(S_n) = 1,\D(S_n) = 1

（与 $n$ 无关）。证明

\lim_{n\to\infty}P(|S_n-1|\geq n\epsilon) = 0

。

解

$E(X_i) = 1/n$ ， $E(X_iX_j) = \dfrac{1}{n(n-1)}$ ，由此可算出 $E(S_n) = 1,\D(S_n) = 1$ （与 $n$ 无关，必背）。Chebyshev：

P(|S_n-1|\geq n\epsilon)\leq\dfrac{\D(S_n)}{(n\epsilon)^2} = \dfrac{1}{n^2\epsilon^2}\to 0\quad(n\to\infty)

即 $S_n/n\xrightarrow{P}0$ 。证毕。关键： $\D(S_n) = 1$ 是与 $n$ 无关的常数，所以除以 $(n\epsilon)^2$ 后趋于 0。

七、必背块

Chebyshev： $P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}$ ，等价 $P(|X-\mu|<\epsilon)\geq 1-\dfrac{\sigma^2}{\epsilon^2}$ 。
$k\sigma$ 形式： $P(|X-\mu|<k\sigma)\geq 1-\dfrac{1}{k^2}$ （ $k=2\Rightarrow\geq 3/4$ ， $k=3\Rightarrow\geq 8/9$ ）。
二项专用： $S\sim B(n,p)$ 时 $E(S) = np,\,\D(S) = np(1-p)$ ，直接代入 Chebyshev。
配对问题 $E(S_n) = 1,\,\D(S_n) = 1$ （与 $n$ 无关，必背常数）。
依概率收敛： $Y_n\xrightarrow{P}a\Leftrightarrow\lim_n P(|Y_n-a|\geq\epsilon) = 0$ （ $\forall\epsilon>0$ ）。
Chebyshev 推论： $\D(Y_n)\to 0$ 且 $E(Y_n) = a$ （或 $\to a$ ） $\Rightarrow Y_n\xrightarrow{P}a$ 。证依概率收敛的标准武器。

八、易错点

Chebyshev 给的是 $\geq$ 下界，不是 $=$ 。题目问"至少多少概率"才用它；问"近似多少"用 CLT。
$\epsilon$ 是绝对偏差不是相对偏差；当 $\epsilon\leq\sigma$ 时下界 $\leq 0$ 无意义（射手例就是这种"偏差太小"的情形）。
区间最好关于 $\mu$ 对称才能直接套 $|X-\mu|<\epsilon$ ；不对称时取离 $\mu$ 较近的半边当 $\epsilon$ （更保守）。
大数律是依概率收敛，不是几乎处处（a.s.），强大数律才是 a.s.。

🔴 你在这卡过（薄弱点精析，5/11 暴露）：在销量题里把"

n

个变量相加"的方差错算成"

1

个变量乘

n

"，混淆

\D(\sum X_i)

与

\D(nX)

。

怎么破：套 Chebyshev 前先把 $\D(S_n)$ 算对 —— 独立同分布求和是 $\D(\sum_{i=1}^n X_i) = n\sigma^2$ （不是 $n^2\sigma^2$ ，那是 $\D(nX)$ ）。算错方差会让整道 Chebyshev 下界全错。
好消息：精析记录你 5/11 已实算掌握 Chebyshev 估概率本身（✅），离散整数变量还能把 $>10$ 收紧成 $\geq 11$ 抠出更精确下界。这块只需确认"方差先算对"即可。

5.1 Chebyshev 不等式与依概率收敛 ⭐⭐⭐

一、Chebyshev 不等式

二、依概率收敛

三、典型例题

四、考试要点

五、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单

六、历年真题原型

七、必背块

八、易错点