5.3 中心极限定理 | 概率统计

⭐ 经典 CLT（独立同分布）

设 $X_1, X_2, \ldots$ 是 i.i.d. 随机变量序列， $E(X_i) = \mu, D(X_i) = \sigma^2$ 存在（ $0 < \sigma^2 < \infty$ ）。则当 $n$ 大时：

\dfrac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt n\sigma}\xrightarrow{d}N(0, 1)

等价说法（实际应用中最常用！）：

\sum_{i=1}^n X_i\;\overset{\text{近似}}{\sim}\;N(n\mu, n\sigma^2),\quad\bar X_n\;\overset{\text{近似}}{\sim}\;N\!\left(\mu,\dfrac{\sigma^2}{n}\right)

二、De Moivre-Laplace CLT（二项 → 正态）

$Y_n\sim B(n, p)$ ，则

\dfrac{Y_n - np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0, 1)

即 $Y_n\overset{\text{近似}}{\sim}N(np, np(1-p))$ 。

三选一判别表（不同近似的适用条件）：

$n$ 小（ $n\leq 20$ ）：直接用二项分布
$n$ 大、 $p$ 小、 $np\leq 10$ ：用 Poisson 近似 $P(np)$
$n$ 大、 $0.1 < p < 0.9$ ：用 正态近似 $N(np, np(1-p))$

三、CLT 标准解题流程（满分答题模板）

⭐ 五步法

识别 $\sum X_i$ 或 $\bar X_n$ ： $X_i$ 必须 i.i.d.
算 $\mu = E(X_i)$ , $\sigma^2 = D(X_i)$ （一定要写出来！）
标准化： $Z = \dfrac{\sum X_i - n\mu}{\sqrt n\sigma}$ 或 $Z = \dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$
$Z\approx N(0, 1)$ ，要求的概率转化为 $\Phi$ 的值
查标准正态表得最终值

四、典型真题完整解答

题 ★★★★★ 23-24-2 第 16 题（家庭电脑 400 户）：某品牌家用电脑年故障率 0.1，400 户独立使用。

用 Chebyshev 估计"故障数在 30-50 之间"的概率下界。
用 CLT 估计同一概率。

解

$S\sim B(400, 0.1)$ 。 $E(S) = np = 40$ ， $D(S) = np(1-p) = 36$ ， $\sigma_S = 6$ 。事件 $\{30\leq S\leq 50\}$ 即 $\{|S-40|\leq 10\}$ 。

(1) Chebyshev： $P(|S-40|\leq 10) = P(|S-40|<10.001)\geq 1-\dfrac{36}{100} = 0.64$ 。

下界 0.64（粗糙）。

(2) CLT： $Z = \dfrac{S-40}{6}\approx N(0, 1)$ 。

P(|S-40|\leq 10) = P(|Z|\leq 10/6) = 2\Phi(1.667)-1\approx 2\cdot 0.952-1 = 0.904

对比：Chebyshev 给 0.64 下界，CLT 给约 0.90。CLT 更准确。

题 ★★★ 22-23-2 第 16 题（血型 1000 人）：某地 A 血型概率 0.2。1000 人调查，求 A 血型人数在 180-220 之间的概率。

解

$S\sim B(1000, 0.2)$ 。 $E(S) = 200$ ， $D(S) = 160$ ， $\sigma_S = 12.65$ 。

P(180\leq S\leq 220)\approx P\!\left(\dfrac{180-200}{12.65}\leq Z\leq\dfrac{220-200}{12.65}\right) = \Phi(1.58)-\Phi(-1.58) = 2\Phi(1.58)-1\approx 0.886

题 ★★★（保险公司盈利）：保险公司接受 10000 单，每单年保费 12 元，赔付概率 0.006，赔付额 1000 元。求公司盈利不少于 60000 元的概率。

解

设 $X_i$ 为单 $i$ 赔付额（0 或 1000）。 $E(X_i) = 6$ ， $D(X_i) = 1000^2\cdot 0.006-36 = 5964$ 。

总收入 $= 120000$ 。盈利 $\geq 60000$ ⇔ $\sum X_i\leq 60000$ 。

$\sum X_i\overset{近似}{\sim}N(60000, 10000\cdot 5964)$ ， $\sigma = \sqrt{5.964\times 10^7}\approx 7723$ 。

P(\sum X_i\leq 60000) = P(Z\leq 0) = 0.5

恰好 50%（因为均值线就是 60000）。

题 ★★★（反查 $n$ ）：每次测量误差

\sim U(-1, 1)

独立。希望

n

次平均误差落入

[-0.1, 0.1]

的概率

\geq 0.95

，求最少

n

。

解

$E = 0$ ， $D = 1/3$ ， $\sigma = 1/\sqrt 3$ 。 $\bar X\approx N(0, 1/(3n))$ 。

P(|\bar X|<0.1)\approx 2\Phi(0.1\sqrt{3n})-1\geq 0.95\Rightarrow\Phi(0.1\sqrt{3n})\geq 0.975

$0.1\sqrt{3n}\geq 1.96\Rightarrow n\geq\dfrac{1.96^2}{0.01\cdot 3}\approx 128.05$ ，取 $n = 129$ 。

五、Chebyshev vs CLT 对比表（同题常考！）

项目	Chebyshev 不等式	中心极限定理
用途	估计概率下界	给出近似精确概率
条件	只需期望/方差存在	$X_i$ i.i.d. + 方差有限
精度	粗糙	$n$ 大时精确
结论	$P(\|S-\mu\|<\epsilon)\geq 1-\sigma^2/\epsilon^2$	$Z = (S-n\mu)/(\sqrt n\sigma)\approx N(0, 1)$
使用场景	题目要"至少 / 下界"	题目要具体数值

六、易错点清单

标准化分母用 $\sqrt n\sigma$ （不是 $n\sigma$ ，也不是 $\sqrt n\sigma^2$ ）
$\bar X$ 的方差是 $\sigma^2/n$ （除以 $n$ 不是 $\sqrt n$ ）
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ ：负参数查表时忘减号
单位换算：例如"8 小时 = 480 分钟"
CLT 用于"和"或"均值"，单个变量不能用
$n$ 不够大时近似误差大
注意区分 $\sum X_i$ 与 $\bar X$ ：两者均值方差不同
二项分布近似正态时有连续性校正 $\pm 0.5$ （教材未强调，但部分题目会用）

记忆口诀：

"i.i.d. 之和 ≈ $N(n\mu, n\sigma^2)$ "（不要忘 $n$ ）
" $\bar X$ ≈ $N(\mu, \sigma^2/n)$ "（方差除 $n$ ）
"标准化分母 $\sqrt n\sigma$ "
"二项 $n$ 大 $p$ 适中 → 正态； $p$ 小 → Poisson"

七、扩展：CLT 的几种推广

满分笔记中提到的扩展定理（证明题潜在考点）：

Lindeberg-Feller：处理独立不同分布的情形，要求 Lindeberg 条件成立
Lyapunov：用 $E|X_i-\mu_i|^{2+\delta}$ 控制，证明 CLT
三大 CLT 之间：Lindeberg-Lévy 是 i.i.d. 特例；Lindeberg-Feller 处理一般独立情形（最普适）；Lyapunov 条件是 Lindeberg 条件的充分条件（更易验证）

本课重点是 Lindeberg-Lévy（i.i.d.）和 De Moivre-Laplace（二项）。

八、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

CLT 题型决策树

题型	套路
i.i.d. 求 $P(\sum X_i\in[a,b])$	$Z = (\sum X_i-n\mu)/(\sqrt n\sigma)\approx N(0,1)$ → 查表
$B(n,p)$ 大 $n$	$N(np, np(1-p))$ 近似
反查 $n$ （"至少多少次保证 P > c"）	$\Phi^{-1}(c)$ 反解 $n$
Chebyshev + CLT 同题	(1) Chebyshev 下界 (2) CLT 精确值，对比
$\bar X$ 落入区间	$\bar X\approx N(\mu, \sigma^2/n)$ ，标准化 $(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$

必背二级结论

i.i.d. 之和近似正态： $\sum X_i\overset{近似}{\sim}N(n\mu, n\sigma^2)$
样本均值近似正态： $\bar X\overset{近似}{\sim}N(\mu, \sigma^2/n)$
De Moivre-Laplace： $B(n,p)\Rightarrow$ 标准化后 $\to N(0,1)$
$n$ 充分大 $\chi^2$ 渐近正态： $\chi^2(n)\approx N(n, 2n)$
$n$ 大 $p$ 适中（ $0.1<p<0.9$ ）→ 二项近似正态
$n$ 大 $p$ 小（ $np\leq 10$ ）→ 二项近似 Poisson $P(np)$
误差累积公式： $n$ 个独立测量误差 $X_i\sim N(0, \sigma^2)$ ， $\bar X\sim N(0, \sigma^2/n)$
常用 $\Phi$ 值： $\Phi(1)=0.8413, \Phi(1.645)=0.95, \Phi(1.96)=0.975, \Phi(2.33)=0.99$
3 $\sigma$ 原则： $P(|X-\mu|<3\sigma) = 0.9974$

速算与解题技巧

识别"独立同分布求和/均值"立刻想 CLT
标准化公式必背： $Z = \dfrac{S-n\mu}{\sqrt n\sigma}$ （分母 $\sqrt n\sigma$ ！）
反查 $n$ 技巧：若要 $P\geq c$ ，解 $\Phi^{-1}(c) = z^*$ ，再代回方程
对称性： $P(|Z|\leq z) = 2\Phi(z)-1$
分位数倒查： $P(Z>1.96) = 0.025$ ； $P(|Z|>1.96) = 0.05$
Chebyshev 给下界，CLT 给精确值，对比时先 Chebyshev 后 CLT

常错"小坑"清单

标准化分母 $\sqrt n\sigma$ （不是 $n\sigma$ 、 $\sqrt n\sigma^2$ 、 $n\sigma^2$ ）
$\bar X$ 的方差是 $\sigma^2/n$ （除以 $n$ ，不是 $\sqrt n$ ）
$\Phi(-x) = 1-\Phi(x)$ ：负参数易忘
单位换算：例如"8 小时 = 480 分钟"
CLT 用于"和"或"均值"，单个变量不能用
$n$ 不够大时近似误差： $n<30$ 时要谨慎
$\sum X_i$ 与 $\bar X$ 区分：均值方差不同

九、更多历年真题原型

题 ★★★★ 23-24-1 第 14 题（40 台设备维修，双阶段指数）：每台设备维修分两阶段，耗时分别

\sim E(\lambda_1=10)

、

\sim E(\lambda_2=8)

独立。40 台设备的总维修时间记为

S_{40}

，求其近似分布（用于估

P(S_{40}\leq a)

）。

解

单台维修时间 $T_i$ = 两阶段之和。指数 $E(\lambda)$ 的 $E = 1/\lambda,\,\D = 1/\lambda^2$ ，故单台：

\mu = E(T_i) = \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{8} = 0.225,\qquad \sigma^2 = \D(T_i) = \dfrac{1}{100}+\dfrac{1}{64} = 0.0256\ldots

（两阶段独立故方差直接相加。）40 台独立同分布，由 Lindeberg-Lévy CLT：

S_{40} = \sum_{i=1}^{40}T_i\;\overset{\text{近似}}{\sim}\;N(40\mu,\,40\sigma^2)

再标准化 $Z = \dfrac{S_{40}-40\mu}{\sqrt{40}\,\sigma}\approx N(0,1)$ ，把所求概率写成 $\Phi$ 查表。要点：离散/复合结构先算单台 $E,\D$ ，再乘 $n$ ；标准化分母是 $\sqrt n\sigma$ 。

题 ★★★★ 反查 $n$ 型（19-20-1 灌装 $N(\mu,1)$ ，高频出题人偏好）：每瓶灌装量

\sim N(\mu,1)

独立。要求

P(|\bar X-\mu|\leq 0.3)\geq 0.95

，求最少瓶数

n

。

解

$\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$ ， $\sigma^2 = 1\Rightarrow\sigma = 1$ 。标准化分母用标准差 $\dfrac{\sigma}{\sqrt n} = \dfrac{1}{\sqrt n}$ ：

P(|\bar X-\mu|\leq 0.3) = 2\Phi\!\left(\dfrac{0.3\sqrt n}{1}\right)-1\geq 0.95\;\Rightarrow\;\Phi(0.3\sqrt n)\geq 0.975

查表 $\Phi(1.96) = 0.975$ ，故 $0.3\sqrt n\geq 1.96\Rightarrow\sqrt n\geq 6.533\Rightarrow n\geq 42.7$ ，向上取整 $n = 43$ 。

十、必背块（CLT 核心）

i.i.d. 之和： $\dfrac{\sum X_i-n\mu}{\sqrt n\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1)$ ，即 $\sum X_i\overset{\text{近似}}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2)$ 。
样本均值： $\bar X\overset{\text{近似}}{\sim}N(\mu,\sigma^2/n)$ ，标准化 $\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}$ 。
De Moivre-Laplace： $B(n,p)$ 大 $n$ 时 $\dfrac{Y-np}{\sqrt{np(1-p)}}\approx N(0,1)$ 。
三选一： $np\leq 10$ （ $p$ 小）用 Poisson $P(np)$ ； $0.1<p<0.9$ 用正态 $N(np,np(1-p))$ 。
反查 $n$ ： $2\Phi\!\left(\dfrac{\epsilon\sqrt n}{\sigma}\right)-1\geq\gamma$ ，反解后向上取整。
常用 $\Phi$ 值： $\Phi(1.645) = 0.95$ ， $\Phi(1.96) = 0.975$ ， $\Phi(2.326) = 0.99$ ， $\Phi(2.576) = 0.995$ 。⚠️ 考前以试卷附表为准。
$3\sigma$ 原则： $P(|X-\mu|<3\sigma) = 0.9974$ 。

🔴 你在这卡过（薄弱点精析，5/17 栽坑）：求最小

n

时把标准化分母写成方差

\dfrac{\sigma^2}{n}

（如写成

\dfrac{36}{n}

），导致整题错。

怎么破：标准化定义是 $Z = \dfrac{X-EX}{\sqrt{\D X}}$ —— 减期望、除标准差。 $\bar X$ 的方差是 $\dfrac{\sigma^2}{n}$ ，标准差是它开根号 $= \dfrac{\sigma}{\sqrt n}$ 。除方差量纲都不对（ $Z$ 应无量纲）。
具体： $X\sim N(\mu,36)$ 时 $\sigma = 6$ （先开根号！）， $\bar X$ 标准差 $= \dfrac{6}{\sqrt n}$ ，不是 $\dfrac{36}{n}$ 。
连带（卡方查表，5/22 同款坑）： $P(\sum X_i^2\geq 4)$ 要先除方差再查， $4/0.25 = 16$ （不是 $4\times 0.25$ ）。
记忆锚："标准化永远除标准差 $\sigma/\sqrt n$ ，不除方差"。CLT 应用里 95% 的算错都来自这一步。

5.3 中心极限定理（CLT）⭐⭐⭐

一、Lindeberg-Lévy 中心极限定理（i.i.d.）