6.1 数理统计基本概念

总体：研究对象全体（视为随机变量 $X$ ，其分布为总体分布）
个体： $X$ 的一次取值
样本：从总体抽取的 $n$ 个个体 $(X_1, \ldots, X_n)$ ，样本容量 $n$
简单随机样本（i.i.d.）： $X_i$ 与 $X$ 同分布且相互独立

简单样本的联合分布

$F_X$ 是总体分布函数：

F(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n F_X(x_i),\quad f(x_1, \ldots, x_n) = \prod_{i=1}^n f_X(x_i)

⭐ 统计量定义

样本 $(X_1, \ldots, X_n)$ 的不含未知参数的可测函数 $g(X_1, \ldots, X_n)$ 称为统计量。

关键：不能含未知参数！

例： $X\sim N(\mu, \sigma^2),\,\mu, \sigma^2$ 未知：

$\bar X$ 是统计量 ✓
$S^2$ 是统计量 ✓
$\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma}$ 不是统计量（含 $\mu, \sigma$ ）

\bar X = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\quad\text{样本均值}

S^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2\quad\text{样本方差（分母

S_n^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar X)^2 = \dfrac{n-1}{n}S^2\quad\text{样本二阶中心矩}

M_k = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k\quad\text{样本

⭐ 期望/方差关键结论（对任意分布都成立！）

$E(\bar X) = \mu$
$D(\bar X) = \sigma^2/n$
$E(S^2) = \sigma^2$ （无偏！ 这就是分母用 $n-1$ 的原因）
$E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ （有偏）
$M_k\xrightarrow{P}E(X^k)$ （依概率收敛）
$E(\bar X^2) = \sigma^2/n+\mu^2$ （连考 3 套关键公式）

$E(S^2) = \sigma^2$ 的证明：

E(S^2) = \dfrac{1}{n-1}\left[E\!\left(\sum X_i^2\right)-nE(\bar X^2)\right] = \dfrac{1}{n-1}\left[n(\sigma^2+\mu^2)-n(\sigma^2/n+\mu^2)\right] = \dfrac{n\sigma^2-\sigma^2}{n-1} = \sigma^2

"分母

n-1

而不是

n

"就是为了让 $S^2$ 无偏。

S^2 与 S_n^2 抽样分布对比 — $6$ 万次抽样（ $n=6,\ \sigma^2=1$ ）的直方图：除 $n-1$ 的 $S^2$ （蓝）均值正好落在真值 $\sigma^2=1$ ；除 $n$ 的 $S_n^2$ （橙）整体偏小，均值约 $\frac{n-1}{n}\sigma^2$ 。这就是"为什么 $S^2$ 分母是 $n-1$ "的直观图证。

顺序统计量：把 $(X_1, \ldots, X_n)$ 从小到大排序得 $X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\cdots\leq X_{(n)}$ 。

最小 $X_{(1)} = \min X_i$ ；最大 $X_{(n)} = \max X_i$
样本中位数 $\tilde X$ ：奇数 $n$ 取 $X_{((n+1)/2)}$ ；偶数 $n$ 取中间两个的平均
样本极差 $R = X_{(n)}-X_{(1)}$

⭐ 分位数（必背！）

上侧 $\alpha$ 分位数： $P(X > x_\alpha) = \alpha$ （右尾概率 = $\alpha$ ）

标准正态：

$\alpha$	0.10	0.05	0.025	0.01	0.005
$u_\alpha$	1.28	1.645	1.96	2.33	2.575

对称性： $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$ （因为标准正态密度是偶函数）

题 ★：总体

X\sim N(52, 6.3^2)

，

n = 36

。求

P(50.8<\bar X<53.8)

。

解

$\bar X\sim N(52, 6.3^2/36) = N(52, 1.1025)$ ， $\sigma_{\bar X} = 1.05$ 。

P(50.8<\bar X<53.8) = \Phi\!\left(\dfrac{1.8}{1.05}\right)-\Phi\!\left(\dfrac{-1.2}{1.05}\right) = \Phi(1.71)-\Phi(-1.14)\approx 0.829

本节常考：

判断"哪些是统计量"（不含未知参数）
$E(\bar X), D(\bar X), E(S^2)$ 直接套用
样本 $k$ 阶矩与总体 $k$ 阶矩的关系（矩估计准备）
分位数定义与对称性

易错：

$S^2$ 用 $n-1$ 才无偏； $S_n^2$ 用 $n$ 有偏
统计量不能含未知参数
$\bar X$ 是 $\mu$ 的任意分布下的无偏估计
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ ，分母是 $n$ （不是 $\sqrt n$ ）

记忆口诀：

" $\bar X$ 估 $\mu$ ， $S^2$ 估 $\sigma^2$ ，都无偏"
" $D(\bar X) = \sigma^2/n$ ； $E(\bar X^2) = \sigma^2/n + \mu^2$ "
"统计量 = 不含未知参数的样本函数"
"上 α 分位数： $P(X > x_\alpha) = \alpha$ "

必背二级结论

$E(\bar X) = \mu$ （任意分布）
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ （任意分布）
$E(S^2) = \sigma^2$ （任意分布无偏）
$E(S_n^2) = \frac{n-1}{n}\sigma^2$ （有偏）
$E(\bar X^2) = \sigma^2/n+\mu^2$ （连考 3 套关键！）
$M_k\xrightarrow{P}E(X^k)$ （矩估计基础）
简单样本联合密度： $f = \prod f_X(x_i)$
统计量 = 不含未知参数的样本函数
上 α 分位数： $P(X>x_\alpha) = \alpha$ ； $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$
顺序统计量： $X_{(1)}\leq X_{(2)}\leq\cdots\leq X_{(n)}$

速算与解题技巧

判断统计量：是否含未知参数
$\bar X, S^2$ 的期望直接背
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ 用于 CLT 标准化
查表分位数 $u_{0.025} = 1.96, u_{0.05} = 1.645, u_{0.01} = 2.33$
正态总体下 $\bar X\sim N(\mu, \sigma^2/n)$ 严格

常错"小坑"清单

统计量不能含未知参数
$S^2$ 用 $n-1$ 才无偏
$D(\bar X) = \sigma^2/n$ ，分母 $n$ （不是 $\sqrt n$ ）
$E(\bar X^2)$ 漏 $\mu^2$ 项
分位数 $u_{1-\alpha} = -u_\alpha$ （对称性）

6.1 数理统计的基本概念 ⭐

一、总体、样本、统计量

二、常用统计量及其性质

三、顺序统计量与分位数

四、典型例题

五、考试要点

六、真题套路 · 二级结论 · 速算技巧

必背二级结论

速算与解题技巧

常错"小坑"清单