6.2 抽样分布（三大分布 + 正态总体）⭐⭐⭐

$X_1, \ldots, X_n$ i.i.d. $\sim N(0, 1)$，则

自由度 $n$ 的卡方分布。

密度（不要求记）：$f(x) = \dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2},\ x > 0$

• $E(\chi^2) = n$，$D(\chi^2) = 2n$
• 可加性：$\chi^2(n_1) + \chi^2(n_2) = \chi^2(n_1+n_2)$（独立时）
• $n$ 很大时 $\chi^2\approx N(n, 2n)$（近似正态）
• 右偏分布，$n$ 越大越接近对称

$X\sim N(0, 1),\,Y\sim\chi^2(n)$ 独立，则

• 对称（偶函数），峰值在 0
• 比 $N(0, 1)$ 厚尾（peak 略低、尾部略肥）
• $n > 1$ 时 $E(T) = 0$；$n > 2$ 时 $D(T) = n/(n-2)$
• $n\to\infty$ 时 $t(n)\to N(0, 1)$
• 对称分位数：$t_{1-\alpha}(n) = -t_\alpha(n)$

$U\sim\chi^2(m),\ V\sim\chi^2(n)$ 独立，则

$m$ 是分子自由度，$n$ 是分母自由度。

• 倒数关系：$F\sim F(m, n)\Rightarrow 1/F\sim F(n, m)$（注意自由度交换！）
• 分位数对偶：$F_{1-\alpha}(m, n) = \dfrac{1}{F_\alpha(n, m)}$（查左尾用）
• $T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1, n)$（重要！）
• 对称性：$F\sim F(m, m)\Rightarrow P(F > 1) = 1/2$（23-24-2 第 10 题考点）

1. $\bar X\sim N\!\left(\mu, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)$，即 $\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0, 1)$
2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
3. $\bar X$ 与 $S^2$ 相互独立（仅在正态总体！）
4. $\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$（$\sigma$ 未知时）
5. $\dfrac{1}{\sigma^2}\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$（$\mu$ 已知时，自由度 $n$！）

区别自由度：$\sum(X_i-\bar X)^2/\sigma^2\sim\chi^2(n-1)$；$\sum(X_i-\mu)^2/\sigma^2\sim\chi^2(n)$。多 / 少 1 个自由度的关键是"用 $\bar X$ 估了 $\mu$"。

1. $\bar X-\bar Y\sim N\!\left(\mu_1-\mu_2,\,\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}\right)$
2. $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)$（方差比的 F 检验基础！）
3. 若 $\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2$，合并方差 $S_w^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$，则 $$\dfrac{(\bar X-\bar Y)-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$$

1. 识别基础：$N(0,1)^2 = \chi^2(1)$ 是"砖块"
2. 线性组合 → 标准化平方 → $\chi^2(1)$：$aX_1+bX_2+\cdots\sim N(0, a^2+b^2+\cdots\sigma^2)$，除方差再平方 → $\chi^2(1)$
3. 独立 $\chi^2$ 相加：$\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2) = \chi^2(n_1+n_2)$
4. "凑分母"：要 $t(n) = N(0,1)/\sqrt{\chi^2(n)/n}$，分子分母必须独立
5. "凑分母比"：要 $F(m,n) = (\chi^2(m)/m)/(\chi^2(n)/n)$

1. $N(0,1)^2 = \chi^2(1)$
2. $\chi^2(n)$：$E = n,\,D = 2n$
3. $\chi^2$ 可加：$\chi^2(n_1)+\chi^2(n_2) = \chi^2(n_1+n_2)$（独立）
4. $t(n)\to N(0,1)$ 当 $n\to\infty$
5. $T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)$
6. $F$ 倒数：$F\sim F(m,n)\Rightarrow 1/F\sim F(n,m)$（自由度交换）
7. $F$ 分位数对偶：$F_{1-\alpha}(m,n) = 1/F_\alpha(n,m)$
8. $F(m,m)$ 对称：$P(F>1) = 1/2$（23-24-2 第 10 题考过）
9. 正态总体核心定理：$\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$；$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$；$\bar X\perp S^2$；$\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$
10. $\mu$ 已知时：$\dfrac{1}{\sigma^2}\sum(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$（自由度 $n$，不是 $n-1$）
11. 两正态合并方差 $t$：$S_w^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$，$t$ 分布自由度 $n_1+n_2-2$
12. 两正态方差比：$\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)$