8.1 假设检验 ⭐⭐⭐

• $H_0$：默认成立，需数据"反对"才能拒绝。"保护"的假设
• $H_1$：与 $H_0$ 对立的假设
• 双侧：$H_1:\theta\neq\theta_0$
• 左侧：$H_1:\theta < \theta_0$
• 右侧：$H_1:\theta > \theta_0$

$\alpha$ = 显著性水平 = 拒真概率。一般 $\alpha = 0.05$ 或 $0.01$。

1. 提出 $H_0, H_1$
2. 选择检验统计量（含 $\theta_0$，分布在 $H_0$ 下已知）
3. 构造拒绝域 $C$，使 $P(T\in C\mid H_0) = \alpha$
4. 由样本算统计量观测值 $T_{\text{obs}}$
5. 判定：$T_{\text{obs}}\in C$ → 拒绝 $H_0$；否则不拒绝

P 值定义：在 $H_0$ 真时，得到"比观察样本更极端"统计量的概率。

规则：

• $P < \alpha$ → 拒绝 $H_0$
• $P\geq\alpha$ → 不拒绝 $H_0$

P 值算法（按 $H_1$ 方向）：

• 双侧：$P = 2P(|T| > |T_{\text{obs}}|)$（或两个单侧概率的较小者 × 2）
• 右侧：$P = P(T > T_{\text{obs}})$
• 左侧：$P = P(T < T_{\text{obs}})$

U 检验（$\sigma$ 已知）：$U = \dfrac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0, 1)$ 在 $H_0:\mu=\mu_0$ 下。

t 检验（$\sigma$ 未知）：$T = \dfrac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$。

拒绝域同上，把 $u_\alpha$ 换成 $t_\alpha(n-1)$。

$\chi^2$ 检验（$\mu$ 未知）：$\chi^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$。

$\chi^2$ 不对称：双侧拒绝域两个端点不互为相反数。

$\mu_1 = \mu_2$（$\sigma_1, \sigma_2$ 已知）：$U = \dfrac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}\sim N(0, 1)$

$\mu_1 = \mu_2$（$\sigma$ 均未知但相等）：用合并方差 $S_w$，$T = \dfrac{\bar X-\bar Y}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$：$F = S_1^2/S_2^2\sim F(n_1-1, n_2-1)$

样本空间分 $k$ 个互斥事件 $A_1, \ldots, A_k$，理论概率 $p_i$，实际频数 $n_i$：

$r$ 为已估计的参数个数。常用于"数据是否来自某分布"检验。

1. P 值 = 在 $H_0$ 真时，得到比观察更极端统计量的概率
2. P 值小于 $\alpha$ 拒绝 $H_0$；P 值大于 $\alpha$ 不拒绝
3. P 值法 = 拒绝域法，结论一致
4. "保护谁谁就是 $H_0$"：原假设是想保护的结论
5. 第一类错误率 $\alpha$ = 弃真；第二类 $\beta$ = 取假
6. 双侧用 $\alpha/2$，单侧用 $\alpha$
7. $\chi^2$ 双侧拒绝域不对称：上下分位数分开查
8. $\sigma^2$ "不超过 $\sigma_0^2$" → 单侧 $H_0:\sigma^2\leq\sigma_0^2$，拒绝域 $\chi^2>\chi^2_\alpha$
9. 合并方差自由度：$n_1+n_2-2$
10. 双侧 P 值算法：$P = 2P(|T|>|T_{\text{obs}}|)$（对称分布）
11. 近似 P 值与查表关系：若 $|T_{\text{obs}}|<t_\alpha(n-1)$，则 P > 2α；若 $>t_{\alpha/2}$，则 P < α