7.2 区间估计 ⭐⭐

对未知参数 $\theta$ 构造统计量 $\underline\theta, \bar\theta$（仅依赖样本），使

$[\underline\theta, \bar\theta]$ 称为 $\theta$ 的置信水平 $1-\alpha$ 的置信区间。$\alpha$ 是显著性水平（一般 0.05 或 0.01）。

1. 选枢轴量 $U(X_1, \ldots, X_n; \theta)$（分布已知且不依赖其他未知参数）
2. 由置信度 $1-\alpha$，找 $a, b$ 满足 $P(a<U<b) = 1-\alpha$（通常对称取分位数）
3. 由不等式变形 $a<U<b$ → $\underline\theta<\theta<\bar\theta$

情形 1：$\sigma^2$ 已知

枢轴量 $U = \dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0, 1)$：

情形 2：$\sigma^2$ 未知（更常见）

枢轴量 $T = \dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$：

$\mu$ 已知：枢轴量 $\chi^2 = \dfrac{1}{\sigma^2}\sum(X_i-\mu)^2\sim\chi^2(n)$：

$\mu$ 未知（更常见）：$\chi^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$：

注意 $\chi^2$ 不对称，上下分位数不同。

• $\mu_1-\mu_2$（$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知）：枢轴量 $U\sim N(0,1)$，

• $\mu_1-\mu_2$（$\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ 未知）：用合并方差 $S_w^2 = \dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$，

• $\sigma_1^2/\sigma_2^2$：枢轴量 $F = \dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1, n_2-1)$，

单侧上限：$P(\theta\leq\bar\theta)\geq 1-\alpha$，用分位数 $u_\alpha$（不是 $u_{\alpha/2}$！）。

例：$N(\mu, \sigma^2)$，$\sigma^2$ 未知，$\mu$ 的单侧上限

单侧置信区间 $(-\infty, \bar\mu)$。

1. $\mu$ 区间（$\sigma$ 已知）：$\bar X\pm u_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$
2. $\mu$ 区间（$\sigma$ 未知）：$\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1) S/\sqrt n$
3. $\sigma^2$ 区间：$\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$
4. 双侧用 $\alpha/2$，单侧用 $\alpha$
5. $\chi^2$ 区间不对称，上下分位数分开查
6. $F$ 区间用倒数关系：$F_{1-\alpha/2}(m,n) = 1/F_{\alpha/2}(n,m)$
7. 合并方差 $S_w^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$
8. 置信区间是随机区间，覆盖 $\theta$ 的概率 = $1-\alpha$