📝 历年真题精选

题 A1（23-24-2 第 13 题 ★★★★★）：甲乙丙三门炮独立射击，命中率 0.4 / 0.5 / 0.7。若仅一门击中，摧毁概率 0.2；两门击中 0.6；三门全中 1。

求目标被摧毁的概率。
已知目标被摧毁，恰两门击中的概率。

解

设 $B_k$ = "恰 $k$ 门击中"， $A$ = "目标被摧毁"。

$P(B_0) = 0.6\cdot 0.5\cdot 0.3 = 0.09$

$P(B_1) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.3+0.6\cdot 0.5\cdot 0.3+0.6\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.06+0.09+0.21 = 0.36$

$P(B_2) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.3+0.4\cdot 0.5\cdot 0.7+0.6\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.06+0.14+0.21 = 0.41$

$P(B_3) = 0.4\cdot 0.5\cdot 0.7 = 0.14$

(1) 全概率： $P(A) = 0\cdot 0.09 + 0.2\cdot 0.36 + 0.6\cdot 0.41 + 1\cdot 0.14 = 0.072 + 0.246 + 0.14 = 0.458$

(2) Bayes： $P(B_2\mid A) = \dfrac{P(B_2)P(A\mid B_2)}{P(A)} = \dfrac{0.41\cdot 0.6}{0.458} = \dfrac{0.246}{0.458}\approx 0.537$

题 A2（22-23-2 第 13 题）：某地驾驶员分新手（25%）、熟练（45%）、老司机（30%）三类，年事故概率分别为 0.04 / 0.02 / 0.01。

任一驾驶员一年内出事故的概率。
已知出事故，求是新手的概率。

解

$P(A) = 0.25\cdot 0.04 + 0.45\cdot 0.02 + 0.3\cdot 0.01 = 0.01 + 0.009 + 0.003 = 0.022$

$P(\text{新手}\mid A) = \dfrac{0.25\cdot 0.04}{0.022} = \dfrac{0.01}{0.022}\approx 0.455$

模板：① 划分

\{B_i\}

（验证两两互斥且并为

\Omega

）；② 列已知

P(B_i),\,P(A\mid B_i)

；③ 全概率

P(A)=\sum P(B_i)P(A\mid B_i)

；④ Bayes 反推。

题 B1（23-24-1 第 14 题）：

(X,Y)

联合密度

f(x,y)=cxy

，区域

D=\{(x,y):0<x<y<1\}

。

求 $c$ 。
求边缘密度 $f_X(x),f_Y(y)$ 。
求 $f_{X|Y}(x|y)$ 。
判断 $X,Y$ 是否独立。

解

(1) $\iint f=c\int_0^1\!\int_0^y xy\,\dd x\,\dd y=c\int_0^1\!\dfrac{y^3}{2}\dd y=\dfrac{c}{8}=1\Rightarrow c=8$ 。

(2) $f_X(x)=\int_x^1 8xy\,\dd y=4x(1-x^2)$ ， $0<x<1$ 。
$f_Y(y)=\int_0^y 8xy\,\dd x=4y^3$ ， $0<y<1$ 。

(3) $f_{X|Y}(x|y)=\dfrac{8xy}{4y^3}=\dfrac{2x}{y^2}$ ， $0<x<y$ （注意支撑随 $y$ 变化）。

(4) $f_X\cdot f_Y=16xy(1-x^2)y^3\neq 8xy=f$ ，不独立。本质：支撑 $\{x<y\}$ 非矩形。

题 B2（23-24-2 第 14 题 ★★★★★）：

(X,Y)

联合密度

f(x,y)=e^{-x}

，区域

0<y<x

。

求 $f_{Y|X}(y|x)$ 与 $f_Y(y)$ 。
区分 $P(Y\leq 1\mid X\leq 2)$ 与 $\int_0^1 f_{Y|X}(y|2)\dd y$ 。

解

$f_X(x)=\int_0^x e^{-x}\dd y=xe^{-x}$ ， $x>0$ 。

$f_{Y|X}(y|x)=\dfrac{e^{-x}}{xe^{-x}}=\dfrac{1}{x}$ ， $0<y<x$ —— $Y|X=x\sim U(0,x)$ 。

$f_Y(y)=\int_y^\infty e^{-x}\dd x=e^{-y}$ ， $y>0$ ，即 $Y\sim E(1)$ 。

(2) 两者完全不同！

$P(Y\leq 1\mid X\leq 2)=\dfrac{P(Y\leq 1,X\leq 2)}{P(X\leq 2)}=\dfrac{\int_0^2\int_0^{\min(1,x)}e^{-x}\dd y\dd x}{\int_0^2 xe^{-x}\dd x}$
$\int_0^1 f_{Y|X}(y|2)\dd y=\int_0^1\dfrac{1}{2}\dd y=\dfrac{1}{2}$ （这是 $P(Y\leq 1|X=2)$ 即 $X=2$ 给定时的）

用普通条件概率定义算第一个：区域 $\{0<y\leq 1, y<x\leq 2\}$ ，分子 = $\int_0^1\int_y^2 e^{-x}\dd x\,\dd y = \int_0^1(e^{-y}-e^{-2})\dd y = 1-e^{-1}-e^{-2}$ ；分母 = $\int_0^2 xe^{-x}\dd x = 1-3e^{-2}$ 。比值 $\approx 0.836$ ，≠ 0.5。

易错：

P(Y\leq a\mid X\leq b)\neq\int_{-\infty}^a f_{Y|X}(y\mid b)\dd y

。前者是事件条件概率（用二重积分），后者是

X=b

上的条件密度积分。

题 C1（22-23-2 第 4 题， $Y=X^2$ 双侧指数）：

X

密度

f(x)=\dfrac{1}{2}e^{-|x|}

（双侧指数），求

Y=X^2

的密度。

解

分布函数法。 $y\leq 0$ ： $F_Y=0$ 。 $y>0$ ：

F_Y(y)=P(X^2\leq y)=P(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y)=\int_{-\sqrt y}^{\sqrt y}\frac{1}{2}e^{-|x|}\dd x=1-e^{-\sqrt y}

f_Y(y)=F_Y'(y)=\frac{e^{-\sqrt y}}{2\sqrt y},\;y>0

题 C2（卷积经典）：

X,Y

独立

\sim U(0,1)

，求

Z=X+Y

密度。

解

$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$ 。需 $0<x<1$ 且 $0<z-x<1$ 。

$0\leq z\leq 1$ ： $x\in(0,z)$ ， $f_Z=z$
$1<z\leq 2$ ： $x\in(z-1,1)$ ， $f_Z=2-z$
否则 $f_Z=0$

三角分布。

题 C3（极值经典，指数串并联）：

n

个独立元件寿命

\sim E(\lambda)

，求串联和并联的寿命分布。

解

串联（min）： $F_N(z)=1-(1-F(z))^n=1-e^{-n\lambda z}$ ，即 $N\sim E(n\lambda)$ 。

并联（max）： $F_M(z)=F(z)^n=(1-e^{-\lambda z})^n$ ，无简单形式。

结论： $n$ 个 i.i.d. $E(\lambda)$ 取 min 仍是指数分布，参数变为 $n\lambda$ 。

题 D1（23-24-2 第 16 题）：某品牌家用电脑年故障率 0.1，独立。某地区 400 户使用。

用 Chebyshev 估计"故障数在 30~50 之间"的概率下界。
用 CLT 估计同一概率。

解

$S\sim B(400,0.1)$ ， $E(S)=40,\,D(S)=36$ ， $\sigma=6$ 。事件 $30\leq S\leq 50$ 即 $|S-40|\leq 10$ 。

(1) Chebyshev： $P(|S-40|<10)\geq 1-\dfrac{36}{100}=0.64$ ，下界 0.64。

(2) CLT： $Z=\dfrac{S-40}{6}\approx N(0,1)$ 。

P(|S-40|<10)\approx P(|Z|<10/6)=2\Phi(1.667)-1\approx 2\cdot 0.952-1=0.904

对比：Chebyshev 给出粗下界 0.64，CLT 给出精确值约 0.90。CLT 更准。

题 D2（CLT 反查 n）：每次测量误差

\sim U(-1,1)

独立。希望

n

次平均误差落入

[-0.1,0.1]

的概率不低于 0.95，求最少

n

。

解

$E=0,\,D=1/3,\,\sigma=1/\sqrt 3$ 。 $\bar X\approx N(0,1/(3n))$ 。

P(|\bar X|<0.1)\approx 2\Phi(0.1\sqrt{3n})-1\geq 0.95\Rightarrow\Phi(0.1\sqrt{3n})\geq 0.975

查表 $\Phi^{-1}(0.975)=1.96$ 。 $0.1\sqrt{3n}\geq 1.96\Rightarrow n\geq 1.96^2/(0.01\cdot 3)\approx 128.05$ ，取 $n=129$ 。

题 E1（23-24-2 第 17 题 ★★★★★，连续 3 套都考）：

X\sim N(0,\sigma^2)

简单样本

X_1,\ldots,X_n

。对以下三个统计量进行 (a) 无偏性判断 (b) 矫正成无偏估计 (c) 比较矫正后的方差。

S_1^2=\frac{1}{n}\sum X_i^2,\quad S_2^2=\frac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)^2,\quad S_3^2=\bar X^2

解

(a)+(b) 无偏性：

$E(S_1^2)=\dfrac{1}{n}\sum E(X_i^2)=\dfrac{1}{n}\cdot n\sigma^2=\sigma^2$ → 无偏（ $\mu=0$ ）
$E(S_2^2)=\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$ → 有偏，矫正 $\hat S_2^2=\dfrac{n}{n-1}S_2^2$
$E(S_3^2)=E(\bar X^2)=D(\bar X)+(E\bar X)^2=\sigma^2/n$ → 有偏，矫正 $\hat S_3^2=n\bar X^2$

(c) 方差比较（用 $X_i^2/\sigma^2\sim\chi^2(1)$ ， $E(X_i^2)=\sigma^2,\,D(X_i^2)=2\sigma^4$ ）：

$D(S_1^2)=\dfrac{1}{n^2}\cdot n\cdot 2\sigma^4=\dfrac{2\sigma^4}{n}$
$\hat S_2^2 = \dfrac{n}{n-1}S_2^2 = S^2$ （标准样本方差），由 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ 得 $D(\hat S_2^2)=D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}$
$\bar X\sim N(0,\sigma^2/n)\Rightarrow n\bar X^2/\sigma^2\sim\chi^2(1)$ ， $D(n\bar X^2)=\sigma^4\cdot 2=2\sigma^4$

排序（小→大即好→差）： $D(S_1^2)<D(\hat S_2^2)<D(n\bar X^2)$ ，即 $S_1^2$ 最有效。

关键结论：

E(\bar X^2)=\sigma^2/n+\mu^2

。这是近 3 套都在反复考的核心公式！

题 F1（20-21-2 第 18 题，带平移指数）：

X

密度

f(x;\alpha,\beta)=\beta e^{-\beta(x-\alpha)}

，

x\geq\alpha

。求

\alpha,\beta

的矩估计和 MLE。

解

矩估计： $X-\alpha\sim E(\beta)$ ， $E(X)=\alpha+1/\beta,\,D(X)=1/\beta^2$ 。

令 $\mu_1=\bar X, \mu_2-\mu_1^2=S_n^2$ ：

$\hat\beta=1/S_n$ （ $S_n^2=\dfrac{1}{n}\sum(X_i-\bar X)^2$ ）
$\hat\alpha=\bar X-S_n=\bar X-1/\hat\beta$

MLE：似然

L(\alpha,\beta)=\beta^n e^{-\beta\sum(X_i-\alpha)}\mathbf 1_{\alpha\leq\min X_i}

对 $\alpha$ ： $L$ 关于 $\alpha$ 单调递增（指数项 $\beta n\alpha$ 是增），但受约束 $\alpha\leq\min X_i$ ，故 $\hat\alpha_{\text{MLE}}=\min X_i$ （边界 MLE！）。

对 $\beta$ ：固定 $\alpha=\hat\alpha$ ， $\ln L=n\ln\beta-\beta\sum(X_i-\hat\alpha)$ ， $\partial_\beta=0$ 得 $\hat\beta_{\text{MLE}}=\dfrac{1}{\bar X-\min X_i}$ 。

易错：定义域含 $\alpha$ 时 MLE 必须看单调性而不是求导！

题 F2（指数分布矩 + MLE）：

X\sim E(\lambda)

样本，求

\lambda

估计。

解

矩： $E(X)=1/\lambda=\bar X\Rightarrow\hat\lambda=1/\bar X$ 。

MLE： $L=\lambda^n e^{-\lambda\sum X_i}$ ， $\ln L=n\ln\lambda-\lambda n\bar X$ ， $\hat\lambda=1/\bar X$ 。

结论：两种方法给出相同结果。

题 G1（23-24-2 第 19 题 ★★★★★，P 值 + 经典法 + 频数表）：车轴直径

X\sim N(\mu,\sigma^2)

。要求均值

\mu=4.0

、方差

\sigma^2\leq 0.1

。25 件样本频数表给出。

用 P 值法检验 $H_0:\mu=4.0$ vs $H_1:\mu\neq 4.0$ ， $\alpha=0.05$ 。
用经典拒绝域法检验 $H_0:\sigma^2\leq 0.1$ vs $H_1:\sigma^2>0.1$ ， $\alpha=0.05$ 。

解

设 $\bar x,\,s^2$ 已算出（题目给频数表用 $\bar x=\sum n_ix_i/25,\,s^2=\dfrac{1}{24}\sum n_i(x_i-\bar x)^2$ ）。

(1) $\sigma^2$ 未知用 $t$ 检验： $T=\dfrac{\bar x-4}{s/\sqrt{25}}\sim t(24)$ 。

设 $T_{\text{obs}}=1.5$ （举例）。双侧 P 值 $=2P(|T|>1.5)$ ，查表 $t_{0.05}(24)=1.711, t_{0.025}(24)=2.064$ 。因 $1.5<1.711$ ，P 值 $>0.1>0.05$ → 不拒绝 $H_0$

(2) 单侧 $\chi^2$ 检验： $\chi^2=\dfrac{24s^2}{0.1}\sim\chi^2(24)$ 。

拒绝域 $\chi^2>\chi^2_{0.05}(24)=36.415$
若 $24s^2/0.1=$ 某值 $>36.415$ → 拒绝 $H_0$ ，方差超标

题 G2（标准 t 检验）：电池寿命

\sim N(\mu,\sigma^2)

。

n=16, \bar x=6.2, s=0.5

，检验

H_0:\mu=6.5

双侧，

\alpha=0.05

。

解

$T=\dfrac{6.2-6.5}{0.5/\sqrt{16}}=\dfrac{-0.3}{0.125}=-2.4$

$|T|=2.4>t_{0.025}(15)=2.131$ → 拒绝 $H_0$ 。

选 1（不相关 vs 独立反例，14-15-2 第 1 题）：

(X,Y)

在单位圆内均匀分布。判断：

① $X,Y$ 不相关
② $X,Y$ 相互独立
③ $D(X-Y)=D(X)-D(Y)$
④ $E(XY)=E(X)E(Y)$

正确的是 ___。

分析

① $E(X)=E(Y)=0$ （对称）， $E(XY)=\iint_{x^2+y^2\leq 1}xy\dfrac{1}{\pi}\dd x\dd y$ ，被积奇函数 → 0。所以 $\Cov=0$ ，不相关。

② $f(x,y)=1/\pi$ ， $f_X(x)=\dfrac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$ ， $f_X\cdot f_Y\neq 1/\pi$ ，不独立。

③ 独立时才有 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$ （同号！）；不独立时 $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\Cov(X,Y)$ 。但即便 $\Cov=0$ ，仍是 $D(X)+D(Y)$ ，不是 $D(X)-D(Y)$ 。错。

④ $E(XY)=0=E(X)E(Y)$ ，对。

正确：①④

选 2（密度偶函数性质）：

X

密度是偶函数，分布函数

F(x)

。下列哪些正确？

① $F(x)=F(-x)$
② $F(-x)=1-F(x)$
③ $P(|X|\leq x)=2F(x)-1$ （ $x\geq 0$ ）
④ $F(0)=1/2$

分析

① 错。 $F$ 单调增不可能是偶函数。

② 对。由密度偶函数， $P(X<-x)=P(X>x)=1-F(x)$ ，又 $P(X<-x)=F(-x-0)=F(-x)$ （连续型）。

③ 对。 $P(|X|\leq x)=F(x)-F(-x)=F(x)-(1-F(x))=2F(x)-1$ 。

④ 对。由②取 $x=0$ ： $F(0)=1-F(0)\Rightarrow F(0)=1/2$ 。

正确：②③④

选 3（抽样分布凑构造）：

X_1,\ldots,X_{30}\sim N(\mu,1)

。哪个统计量服从

\chi^2(29)

？

(A) $\sum(X_i-\bar X)^2$ → $\chi^2(29)$ ✓
(B) $\sum(X_i-\mu)^2$ → $\chi^2(30)$ ✗（自由度多 1）
(C) $\bar X\sim N(\mu,1/30)$ ✗
(D) $\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt{29}}\sim t(?)$ ， $S$ 用 $n-1$ ，应是 $t(29)$ ✗

答案 (A)。

选 4（最有效估计）：

X_1,\ldots,X_n\sim N(\mu,\sigma^2)

简单样本，

n>3

。下列

\mu

的无偏估计中最有效的：

(A) $\dfrac{1}{2}X_1+\dfrac{1}{2}X_2$ ， $D=\sigma^2/2$
(B) $\dfrac{1}{3}X_1+\dfrac{1}{3}X_2+\dfrac{1}{3}X_3$ ， $D=\sigma^2/3$
(C) $\dfrac{1}{4}X_1+\dfrac{1}{4}X_2+\dfrac{1}{2}X_3$ ， $D=\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{4}=3\sigma^2/8$
(D) $\dfrac{1}{n}\sum X_i=\bar X$ ， $D=\sigma^2/n$

解

$n>3$ 时 $\sigma^2/n<\sigma^2/3$ ，所以 (D) 最有效（方差最小）。

结论：样本均值 $\bar X$ 是 $\mu$ 的最有效无偏估计（在 N 分布族下达到 Rao-Cramer 下界）。

选 5（两两独立 ≠ 相互独立）：以下哪些命题正确？

① A,B,C 相互独立 ⇒ A,B,C 两两独立
② A,B,C 两两独立 ⇒ A,B,C 相互独立
③ A,B 独立 ⇒ $\bar A,\bar B$ 独立
④ A,B 互斥 ⇒ A,B 独立

分析

① 对（定义包含）；② 错（缺 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$ ）；③ 对（独立可传递到补）；④ 错（若 $0<P<1$ 互斥与独立不能并存）。

正确：①③

选 6（无记忆性识别）：哪个分布具有无记忆性？

(A) 二项 (B) Poisson (C) 几何 (D) 指数

解

离散：几何；连续：指数。选 (C) 和 (D)。

年份	题 13	题 14	题 15	题 16	题 17	题 18	题 19
20-21-2	三类保险	$6e^{-2x-3y}$	函数分布	200 顾客 CLT	$\bar X_{\text{前}}\bar X_{\text{后}}$	带平移指数 MLE	球投匣依概率收敛
22-23-2	驾驶员三类	$27x^2y^2/4$	双侧指数 $Y=X^2$	血型 1000 人	$Q_n,S_n$ 协方差	正态 MLE	笔记本续航 t 检验
23-24-1	次品 Bayes	$cxy$ 三角域	$Y=\min(X,2)$	维修 40 台 CLT	有效性比较	$F=1-1/x^\theta$ MLE	炼钢得率检验
23-24-2	三门高射炮	$e^{-x}$ 域 $y<x$	函数分布	电脑 400 户	$S_1^2,S_2^2,S_3^2$ 排序	边界 MLE	车轴直径 P 值法

📝 历年真题精选与解析（从 14 套提炼）

必做大题 19 道（按题型分类）

题型 A：全概率 + Bayes（每年题 13）

题型 B：二维联合 / 条件密度（每年题 14）

题型 C：函数分布 / 卷积（每年题 15）

题型 D：Chebyshev + CLT 双胞胎（每年题 16）

题型 E：估计量评价（题 17）

题型 F：矩估计 + MLE（题 18）

题型 G：假设检验（题 19 压轴）

选择题高频考点

七年大题主题分布（一览）