🔥 考前救命卡 | 概率统计

位置	题型	分值	命中率
选 1-12	概念辨析（独立/不相关、抽样分布、估计性质）	36	100%
题 13	全概率 + Bayes（多源产品 / 信道 / 医学）	9	13/14
题 14	二维条件密度 / 边缘分布	9	12/14
题 15	$Y=g(X)$ 函数分布 / $Z=X+Y$ 卷积	9	13/14
题 16	Chebyshev + CLT 联考	9	14/14
题 17	矩估计 + MLE	9	14/14
题 18	估计量无偏/有效性比较	9	13/14
题 19	假设检验（P 值 + 临界值）/ 区间估计 / 抽样分布证明	10	13/14

第 1 章

De Morgan： $\overline{A\cup B}=\bar A\bar B,\,\overline{AB}=\bar A\cup\bar B$
三事件容斥带 $+P(ABC)$
"至少一个发生"用对立 $1-\prod(1-P)$ 更简单
独立 ⇏ 互斥（ $0<P<1$ 时矛盾）
两两独立 ⇏ 相互独立（需四个等式）
Bayes 公式分母必须展开成全概率

第 2 章

分布函数右连续，跳跃高度 = 该点概率
$B(n,p)$ 最可能值 $k^*=\lfloor(n+1)p\rfloor$
Poisson 适用： $n\geq 20,p\leq 0.05$
$E(\lambda)$ 无记忆性： $P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$
正态标准化分母用 $\sigma$ 不是 $\sigma^2$
$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$
$X\sim N(0,1)\Rightarrow X^2\sim\chi^2(1)$ ，密度 $\dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}$

第 3 章

边缘分布不能唯一决定联合分布
可分离 + 矩形支撑 ⇔ 独立
二维正态独立 ⇔ $\rho=0$ （仅此分布）
二维正态条件方差缩 $(1-\rho^2)$
独立可加性需同 $p$ （二项）或同分布族（正态/Poisson/卡方）
$n$ 个独立 $E(\lambda)$ min $\sim E(n\lambda)$
$X,Y\sim N(0,1)$ 独立 $\Rightarrow X^2+Y^2\sim E(1/2)=\chi^2(2)$

第 4 章

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ 无需独立，但 $E(XY)=E(X)E(Y)$ 需要
示性函数： $E(I_A)=P(A)$ （计数期望神器）
$D(X\pm Y)=D(X)+D(Y)\pm 2\Cov$ （同号！）
独立 $\Rightarrow$ 不相关，反之仅在二维正态成立
$|\rho|=1$ ⇔ 线性关系 a.s.

第 5 章

Chebyshev 给"下界"，与 CLT "精确"对比
CLT 标准化： $Z=\dfrac{\sum X_i-n\mu}{\sqrt n\sigma}$ （ $\sqrt n$ 不是 $n$ ）

第 6-8 章

$\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ ， $\bar X$ 与 $S^2$ 独立
$\sigma$ 未知用 $t(n-1)$ ，已知用 $N(0,1)$
$F$ 倒数关系： $F_{1-\alpha}(m,n)=1/F_\alpha(n,m)$

⚠️ 概率部分

"不都发生"≠"都不发生"（ $\overline{ABC}$ vs $\bar A\bar B\bar C$ ）
差事件 $A-B$ 不要求 $B\subset A$
Bayes 分母直接写 $P(A)$ 没展开 → 扣过程分
古典概型必须等可能

⚠️ 一维 / 二维分布

分布函数右连续， $P(X<a)=F(a-0)$
连续型 $P(X=a)=0$ 但不表示事件不可能
函数分布忘记分段（ $Y=X^2$ 必须 $y>0$ ）
正态标准化分母用 $\sigma$ ， $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$ 漏减号
看到可拆形式 $r(x)g(y)$ 立刻判独立 → 必须先看支撑是否矩形！

⚠️ 数字特征

$D(X-Y)$ 独立时 = $D(X)+D(Y)$ （同号！）
$E(XY)=E(X)E(Y)$ 乱套（未确认独立）
不相关 ≠ 独立（除非二维正态）
$\Cov$ 双线性符号搞反

⚠️ 极限定理

CLT 分母 $\sqrt n\sigma$ （不是 $n\sigma$ ，不是 $\sqrt n\sigma^2$ ）
$\bar X$ 方差 = $\sigma^2/n$ （除以 $n$ 不是 $\sqrt n$ ）
Chebyshev 估计有时给出 $\leq 0$ ，无意义

⚠️ 统计 / 估计 / 检验

$\chi^2$ 与 $S^2$ 关联自由度是 $n-1$ （用 $\bar X$ 代替 $\mu$ ）； $\mu$ 已知是 $n$
$t$ 分布分子分母必须独立
$F$ 倒数 / 分位数对偶混淆
$\hat\sigma^2_{MLE}=S_n^2$ （ $n$ ）≠ $S^2$ （ $n-1$ ）
$\chi^2$ 区间 / 双侧检验不对称，上下分位数不同
$\sigma$ 未知 → $t$ 不要错用 $u$
单侧 vs 双侧分位数： $\alpha$ vs $\alpha/2$
边界型 MLE（如 $U(0,\theta)$ ）求导失效，看单调性

组合恒等式：

$\sum_{k=0}^n C_n^k=2^n$
$C_n^k=C_n^{n-k}$
$kC_n^k=nC_{n-1}^{k-1}$

积分技巧：

$\int_0^\infty x^n e^{-x}\dd x=n!$
$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\dd x=\sqrt{2\pi}$
正态 $\int_{-\infty}^\infty xe^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}\dd x=\sqrt{2\pi}\sigma\cdot\mu$
分部积分对指数+多项式： $\int x e^{-\lambda x}\dd x=-\frac{x+1/\lambda}{\lambda}e^{-\lambda x}+C$

常用极限：

$\left(1-\frac{x}{n}\right)^n\to e^{-x}$
$\binom{n}{k}\sim n^k/k!$ （ $n$ 大）
Stirling： $n!\sim\sqrt{2\pi n}(n/e)^n$

1. 全概率 / Bayes 模板
"设事件

B_i

表示

\ldots

（验证划分），则

P(A)=\sum P(B_i)P(A\mid B_i)=\ldots

；后验

P(B_i\mid A)=\dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)}=\ldots

"

2. CLT 模板
"

X_i

i.i.d.，

E(X_i)=\ldots

，

D(X_i)=\ldots

，由 CLT，

\sum X_i\approx N(n\mu,n\sigma^2)

；标准化

Z=(S-n\mu)/(\sqrt n\sigma)\approx N(0,1)

，所求

P(\ldots)=\Phi(\ldots)-\Phi(\ldots)=\ldots

"

3. MLE 模板
"似然

L(\theta)=\prod f(X_i;\theta)=\ldots

；对数

\ell=\ln L=\ldots

；

\dfrac{d\ell}{d\theta}=0\Rightarrow\hat\theta=\ldots

；验证二阶导<0。"

4. 假设检验模板
"①

H_0:\theta=\theta_0

vs

H_1:\ldots

；② 统计量

T=\ldots\sim\ldots

；③ 拒绝域

\{|T|>\ldots\}

；④ 计算

T_{\text{obs}}=\ldots

；⑤

T_{\text{obs}}

∈/∉ 拒绝域 → 拒绝 / 接受

H_0

。"

5. 抽样分布构造模板
"

X_i

i.i.d.

\sim N(0,\sigma^2)

。线性组合

aX_1+bX_2\sim N(0,(a^2+b^2)\sigma^2)

标准化平方

\sim\chi^2(1)

；多个组合相加

\sim\chi^2(k)

。"

🔥 考前救命卡（最后 24 小时必看）

🎯 一、必出题型清单（按位置）

💎 二、30 条必背二级结论