📊 期末备考指南（基于 14 套真题）

识别：题干"三类 / 两类"对象 + 先验比例 + 条件概率。

解法：① 设 $B_i$ 类别（验证划分）；② $P(A)=\sum P(B_i)P(A|B_i)$；③ Bayes 求后验。

易错：(1) "恰两门击中" 要枚举 3 种组合；(2) Bayes 分母用上一问结果，别重算。

识别：$f(x,y)=c\cdot g(x,y)\cdot\mathbf 1_D$，第一问求 $c$、边缘；第二问条件密度或条件概率。

解法：① 画区域；② $f_X=\int f\,dy$；③ $f_{X|Y}=f/f_Y$；④ 条件分布函数 = 条件密度积分。

易错：$P(X\leq 2|Y\leq 1)=\dfrac{P(X\leq 2,Y\leq 1)}{P(Y\leq 1)}$（二重积分）不同于 $\int_{-\infty}^2 f_{X|Y}(x|1)\dd x$ —— 23-24-2 第 14 题专考此区别。

识别：独立 $X,Y$ 或联合，求 $Z=X+Y$ / $\max(X,Y)$ / $\min(X,Y)$ 的分布。

解法：卷积 $f_Z=\int f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$，画图分段；max 用乘积 $\prod F$，min 用 $1-\prod(1-F)$。

易错：周长 $Z=2(X+Y)$ 时要乘 $1/2$（$Z/2=X+Y$ 的卷积）。

识别：1000 个独立 $X_i$，问某区间概率。

解法：(1) Chebyshev 给下界；(2) CLT 给精确值。

易错：单位换算（8 小时 = 480 分）；Chebyshev 给的是"至少为 ?"。

识别：给 2-3 个统计量，判无偏 / 矫正 / 有效。

解法：① 算 $E(T_i)$，矫正系数 $c_i=\theta/E(T_i)$；② 矫正后比方差；③ 一致性用 Chebyshev。

关键公式：$E(\bar X^2)=D(\bar X)+(E\bar X)^2=\sigma^2/n+\mu^2$（高频用到）。

识别：给 $f(x;\theta)$，求两种估计。

解法：① 矩估计 $E(X)=g(\theta)\to\hat\theta$；② MLE 求 $\ell'(\theta)=0$。

易错：定义域含 $\theta$ 时（如 $U(0,\theta)$、$f=2\theta^2 x^{-3},x>\theta$），MLE 是 $\min$ 或 $\max$ 不是导数 0。

识别：一组样本，分别检验 $\mu$ 和 $\sigma^2$。一问 P 值法、一问经典法。

解法：$\mu$ 检验用 $t(n-1)$；$\sigma^2$ 检验用 $\chi^2(n-1)$。

易错：单/双侧；P 值小 = 拒绝 $H_0$；$\sigma_0^2$ "不超过" 是单侧 $H_0$。

• P 值检验法大量出现（22-23-2 第 8 题、23-24-1 第 5 题、23-24-2 第 19 题）
• "差到好"有效性排序成新模板（23-24-2 第 17 题）—— 三个估计量"无偏 + 矫正 + 排序"三连
• (0-1) 分布的复合事件（23-24-2 第 3 题）—— 考独立性 + 离散组合计算
• $F\sim F(m,m)$ 对称性（23-24-2 第 10 题）：$P(F>1)=1/2$，纯概念题

• 填空题完全消失（20-21-2 起）
• 大题从 8 减为 7（题 19 即压轴）
• 几何概型 / Buffon 投针纯几何题几乎不出

1. 喜欢二维正态 $N(0,1;0,4;-0.5)$（23-24-2 第 1、7 题）
2. 喜欢"配对问题"（hat-matching，$E=1$）
3. 喜欢区域型联合密度：$\{0<y<x\}$、$\{y^2<x<1\}$、$\{0<x<y<1\}$
4. 喜欢 CLT 反查："$n$ 至少为多少"
5. 连续 3 套都考 $E(\bar X^2)=\sigma^2/n+\mu^2$（估计量矫正关键）

按 FXY 的状况（"感觉基本都理解但没考过"）和投入：

• 最低保底（5 周认真复习）：75-80 分
• 合理预期（完成本指南 + 5 道 ROI 题）：82-88 分
• 拼一拼（刷完近 5 套真题 + 错题二轮）：88-93 分

本课无期中，期末就是全部。投入和回报呈线性，没有玄学，按计划走即可。