📋 公式速查 & 七大分布总表

• $P(\bar A)=1-P(A)$
• $P(B-A)=P(B)-P(AB)$
• $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
• 三事件容斥（注意 $+P(ABC)$）

独立 $\Rightarrow\{A,\bar B\},\{\bar A,B\},\{\bar A,\bar B\}$ 也独立

独立时 $P(\cup A_i)=1-\prod(1-P(A_i))$

• $F(x)=P(X\leq x)$，右连续不减
• $P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$
• $P(X=a)=F(a)-F(a-0)$（跳跃高度）
• $P(X<a)=F(a-0)$

$3\sigma$ 原则：$P(|X-\mu|<3\sigma)\approx 0.9974$

线性变换：$Y=aX+b\Rightarrow f_Y(y)=\dfrac{1}{|a|}f_X\!\left(\dfrac{y-b}{a}\right)$

• $f_X(x)=\int f(x,y)\dd y$
• $p_{i\cdot}=\sum_j p_{ij}$

二维正态条件分布：$X\mid Y=y\sim N\!\left(\mu_1+\rho\frac{\sigma_1}{\sigma_2}(y-\mu_2),\sigma_1^2(1-\rho^2)\right)$

• $X,Y$ 独立 $\Leftrightarrow f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
• 二维正态独立 $\Leftrightarrow\rho=0$（仅此分布！）
• 独立时 $u(X),v(Y)$ 也独立

独立时卷积：$f_{X+Y}(z)=\int f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$

极值：$F_{\max}=\prod F_{X_i}$，$F_{\min}=1-\prod(1-F_{X_i})$

• $E(aX+b)=aE(X)+b$
• $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$（无需独立）
• $E(XY)=E(X)E(Y)$（需独立）
• $E[g(X)]=\sum g(x_k)p_k$ 或 $\int g(x)f(x)\dd x$
• 示性函数：$E(I_A)=P(A)$

1. $\rho=0$
2. $\Cov=0$
3. $E(XY)=E(X)E(Y)$
4. $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$

Chebyshev：$P(|X-\mu|\geq\epsilon)\leq\sigma^2/\epsilon^2$；$P(|X-\mu|<k\sigma)\geq 1-1/k^2$。

大数定律：$\bar X_n\xrightarrow{P}\mu$（i.i.d.）；$M_k\xrightarrow{P}\E(X^k)$。

CLT（Lindeberg-Lévy）：

DeMoivre-Laplace：$B(n,p)\to N(np,np(1-p))$（$n$ 大、$p$ 适中）。

• $\bar X=\frac{1}{n}\sum X_i$，$S^2=\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$
• $E(\bar X)=\mu,\,D(\bar X)=\sigma^2/n,\,E(S^2)=\sigma^2$

• $\chi^2(n)$：$\sum_{i=1}^n Z_i^2$，$Z_i\sim N(0,1)$ i.i.d.；$E=n,D=2n$
• $t(n)$：$Z/\sqrt{Y/n}$，$Z\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)$，独立
• $F(m,n)$：$\dfrac{X/m}{Y/n}$，$X\sim\chi^2(m),Y\sim\chi^2(n)$，独立
• $T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)$
• $1/F(m,n)\sim F(n,m)$；$F_{1-\alpha}(m,n)=1/F_\alpha(n,m)$

一个正态总体 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$：

1. $\bar X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$
2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$
3. $\bar X$ 与 $S^2$ 独立
4. $\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$

两个正态总体：$\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$，方差合并用 $S_w$。

• 矩估计：$\mu_k=M_k$ 反解
• MLE：$\ell(\theta)=\sum\ln f(X_i;\theta)$ 求 $\partial\ell/\partial\theta=0$
• 无偏：$\bar X$ 估 $\mu$，$S^2$ 估 $\sigma^2$
• $\mu$ 置信区间（$\sigma$ 未知）：$\bar X\pm t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{S}{\sqrt n}$
• $\sigma^2$ 置信区间：$\left[\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}},\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}}\right]$

• $\mu=\mu_0$，$\sigma$ 已知：$|U|>u_{\alpha/2}$，$U=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$
• $\mu=\mu_0$，$\sigma$ 未知：$|T|>t_{\alpha/2}(n-1)$，$T=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n)$
• $\sigma^2=\sigma_0^2$：$\chi^2$ 不对称双侧