📚 真题题型全库（按频次 / 占分排序）

单选 12×3 = 36 分 + 大题 7 道（前 6 题各 9 分 + 第 19 题 10 分）= 64 分，共 100 分 / 120 分钟。

复习模板：以 22-23-2、23-24-1、23-24-2 三套为最终题型模板。

1. 设 $B_i$ 为类别（构成 $\Omega$ 完备划分，$\sum P(B_i)=1$），$A$ 为待求事件。
2. 全概率：$P(A)=\sum_i P(B_i)P(A\mid B_i)$。
3. Bayes：$P(B_k\mid A)=\dfrac{P(B_k)P(A\mid B_k)}{P(A)}$，分母直接用第 (1) 问的 $P(A)$，不要重算。

1. 矩估计：算 $E(X)=g(\theta)$，令 $g(\hat\theta)=\bar X$ 反解。一阶矩不含 $\theta$（如对称分布期望为 0）时用二阶矩 $E(X^2)$ 或 $D(X)$。
2. MLE：$L(\theta)=\prod_{i=1}^n f(x_i;\theta)$，取 $\ln L$，对 $\theta$ 求导令 $=0$ 解 $\hat\theta$。
3. 边界情形（关键考点）：定义域含 $\theta$（如 $x>\theta$、$U(0,\theta)$），$\ln L$ 对 $\theta$ 求导恒同号，MLE 取样本极值 $\min X_i$ 或 $\max X_i$，绝不求导。

1. 设 $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$，算 $E(S_n)=n\mu$，$D(S_n)=n\sigma^2$。
2. $\dfrac{S_n-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\approx N(0,1)$，即 $S_n\approx N(n\mu,n\sigma^2)$；均值 $\bar X\approx N(\mu,\sigma^2/n)$。
3. 标准化查 $\Phi$ 表：$P(S_n\le a)=\Phi\!\left(\dfrac{a-n\mu}{\sqrt n\,\sigma}\right)$。

要求 $P(|\bar X-\mu|<\varepsilon)\ge\gamma$，即 $2\Phi\!\left(\dfrac{\varepsilon\sqrt n}{\sigma}\right)-1\ge\gamma$，反查 $\Phi^{-1}$ 解出 $n$。

例（19-20-1）：灌装 $N(\mu,1)$，$P(|\bar X-\mu|\le0.3)\ge0.95$，$n\ge(1.96/0.3)^2\approx 43$。

解法：算 $S_n$ 的 $E,D$ → 套公式给下界（"概率至少为"）。

1. 归一化常数：$\iint_D f=1$ 解 $c$。
2. 边缘密度：$f_X(x)=\int_{\{y:f>0\}}f(x,y)\dd y$（画区域图定限）。
3. 条件密度：$f_{X\mid Y}(x\mid y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}$。
4. 条件分布函数：$F_{X\mid Y}(x\mid y)=\int_{-\infty}^x f_{X\mid Y}(t\mid y)\dd t$。

前者是事件条件概率（用区域二重积分），后者是条件密度积分（点条件 $Y=1$）。

• 卷积（独立）：$f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\dd x$，积分限由 $x\in\text{supp}(X)$ 且 $z-x\in\text{supp}(Y)$ 共定。
• 一般 $Z=X+Y$（不独立）：$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x)\dd x$。
• $\max$：$F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z)$（独立）；i.i.d. 时 $=F(z)^n$。
• $\min$：$1-F_{\min}(z)=(1-F_X(z))(1-F_Y(z))$；i.i.d. 时 $F_{\min}(z)=1-(1-F(z))^n$。
• 商 $Z=X/Y$：$f_Z(z)=\int|y|f(yz,y)\dd y$。

• $\chi^2(n)$：$X_i\overset{iid}\sim N(0,1)$ → $\sum_{i=1}^n X_i^2\sim\chi^2(n)$。$E=n,\,D=2n$，可加。
• $t(n)=\dfrac{X}{\sqrt{Y/n}}$，$X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$ 独立。偶函数，$t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)$。
• $F(m,n)=\dfrac{U/m}{V/n}$，$U\sim\chi^2(m)$，$V\sim\chi^2(n)$ 独立。$1/F\sim F(n,m)$，$F_{1-\alpha}(m,n)=1/F_\alpha(n,m)$。

$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本 $\bar X,S^2$：

1. $\dfrac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)$
2. $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，且 $\bar X\perp S^2$
3. $\dfrac{\bar X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)$
4. $\sum\left(\dfrac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2\sim\chi^2(n)$（已知 $\mu$ 不损自由度）

$F=\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$；$\sigma_1=\sigma_2$ 时 $\dfrac{\bar X-\bar Y-(\mu_1-\mu_2)}{S_w\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t(n_1+n_2-2)$，$S_w^2=\dfrac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$。

• $H_1:\mu>\mu_0$ → $T>t_\alpha(n-1)$；$H_1:\mu<\mu_0$ → $T<-t_\alpha(n-1)$。
• $H_1:\sigma^2>\sigma_0^2$ → $\chi^2>\chi^2_\alpha(n-1)$；$H_1:\sigma^2<\sigma_0^2$ → $\chi^2<\chi^2_{1-\alpha}(n-1)$。
• P 值法：算 $T_{obs}$，双侧 P 值 $=2P(t>|T_{obs}|)$。P 值 $\le\alpha$ 则拒绝 $H_0$。

• 无偏：$E(\hat\theta)=\theta$。$\frac1n\sum X_i^k$ 无偏估计 $E(X^k)$；$\bar X$ 无偏 $\mu$，$S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$ 无偏 $\sigma^2$。
• 关键恒等式：$E(\bar X^2)=\D(\bar X)+(E\bar X)^2=\dfrac{\sigma^2}{n}+\mu^2$（零均值时 $=\sigma^2/n$）。
• 矫正：若 $E(\hat\theta)=c\theta$，矫正为 $\hat\theta/c$。
• 有效：无偏估计中方差小者更有效。零均值高斯 $E(X^2)=\sigma^2,\ E(X^4)=3\sigma^4$。
• 一致（相合）：$\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta$。充分条件：无偏 + $D(\hat\theta_n)\to0$，或辛钦大数律。

• 二维正态 $N(\mu_1,\sigma_1^2;\mu_2,\sigma_2^2;\rho)$：边缘均正态，独立 $\Leftrightarrow$ 不相关 $\Leftrightarrow\rho=0$（仅此分布！）。
• $\D(aX+bY)=a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2+2ab\,\rho\sigma_1\sigma_2$；$\Cov(X,Y)=\rho\sigma_1\sigma_2$。
• 非正态：不相关 $\nRightarrow$ 独立（反例：圆盘均匀分布）。$|\rho|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$ a.s.

• 分布函数法：先 $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$，再 $f_Y(y)=F_Y'(y)$。
• 公式法（$g$ 严格单调可导，反函数 $h$）：$f_Y(y)=f_X(h(y))|h'(y)|$；分段单调则 $\sum_i f_X(h_i(y))|h_i'(y)|$。

• $M=\max X_i$：$P(M\le m)=[F_X(m)]^n$，差分得 $P(M=m)=[F_X(m)]^n-[F_X(m^-)]^n$。
• $L=\min X_i$：$P(L\ge m)=[P(X\ge m)]^n$。
• 连续型次序统计量：$f_{X_{(1)}}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$；指数总体下 $X_{(1)}$ 仍指数，速率 $\to n\lambda$。

• "恰有一个发生" $=A\bar B\bar C\cup\bar AB\bar C\cup\bar A\bar BC$；两事件恰一个 $=P(A)+P(B)-2P(AB)$。
• 互斥 $AB=\varnothing$ ≠ 对立；互斥且概率非零 ≠ 独立。
• 三事件相互独立需 4 个等式（3 个两两 + $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$）。
• De Morgan：$\overline{A\cup B}=\bar A\bar B$，$\overline{AB}=\bar A\cup\bar B$。独立事件的函数仍独立。

1. $E(\bar X^2)=\dfrac{\sigma^2}{n}+\mu^2$（题 17 命根）
2. 配对问题（hat problem）$E(S_n)=1,\ D(S_n)=1$（与 $n$ 无关）
3. 零均值高斯 $N(0,\sigma^2)$：$E(X^2)=\sigma^2$，$E(X^4)=3\sigma^4$
4. 正态下 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，反解 $D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}$
5. 不相关 4 等价：$\rho=0\Leftrightarrow\Cov=0\Leftrightarrow E(XY)=EX\,EY\Leftrightarrow D(X+Y)=DX+DY$
6. 切比雪夫：$\Prob(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le D(X)/\varepsilon^2$；指数无记忆：$P(X>s+t\mid X>s)=P(X>t)$
7. 可加性：$P(\lambda_1)+P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2)$；$\chi^2(m)+\chi^2(n)=\chi^2(m+n)$；独立正态线性组合仍正态
8. $3\sigma$：$P(|X-\mu|<\sigma)=0.6826$，$<2\sigma=0.9544$，$<3\sigma=0.9974$

• 单侧：$u_{0.05}=1.645$，$u_{0.025}=1.96$，$u_{0.01}=2.326$，$u_{0.005}=2.576$
• $\Phi(1.645)=0.95$，$\Phi(1.96)=0.975$，$\Phi(2.576)=0.995$
• ⚠️ $t_\alpha(n)$、$\chi^2_\alpha(n)$、$F_\alpha(m,n)$ 必查试卷附表，不要背（每套附表不同）。