🔴 我的薄弱点（FXY 专属精析）

1. 恒等变形分子：$\sum(X_i-\bar X)^2=\sum(X_i-\mu)^2-n(\bar X-\mu)^2$（加减 $\mu$ 配方，交叉项因 $\sum(X_i-\bar X)=0$ 归零）；
2. 取期望：$E\!\left[\sum(X_i-\bar X)^2\right]=n\sigma^2-n\cdot\dfrac{\sigma^2}{n}=(n-1)\sigma^2$；
3. 故 $E(S^2)=\dfrac{1}{n-1}(n-1)\sigma^2=\sigma^2$（这就是分母为何是 $n-1$）。

正态下 $D(S^2)$ 捷径：用 $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$，其方差 $2(n-1)$，反解 $D(S^2)=\dfrac{2\sigma^4}{n-1}$（不用硬算四阶矩）。

• $\chi^2(k)=$ $k$ 个独立 $N(0,1)$ 的平方和；
• $t(k)=\dfrac{N(0,1)}{\sqrt{\chi^2(k)/k}}$（分子分母独立）；
• $F(d_1,d_2)=\dfrac{\chi^2(d_1)/d_1}{\chi^2(d_2)/d_2}$（分子分母独立）。

套路：看到平方 → 凑 $\chi^2$；比值且分子分母都有平方 → 凑 $F$；正态除以含 $S$ 的根式 → 凑 $t$。

• 矩估计：总体矩 = 样本矩 → 解参数。双参数必须联立一阶矩（期望）+ 二阶矩（方差），只用一个方程是高频错误。
• MLE 常规型：写 $L$ → 取 $\ln L$ → 求导 $=0$ → 解。
• MLE 边界型（最易错）：参数在定义域（如 $x>\mu$）时绝不求导！看 $L$ 关于参数的单调性 + 约束 $\mu\le\min x_i$ → 取 $\hat\mu_L=X_{(1)}$。
• 无偏 → 有效：无偏 = $E(\hat\theta)=\theta$；有偏乘系数倒数修正；两无偏估计比有效性 = 比方差，小者更有效。

$P(X_{(1)}>x)=[1-F(x)]^n$ → $f_{X_{(1)}}(x)=n[1-F(x)]^{n-1}f(x)$；指数总体下 $X_{(1)}$ 仍是指数，速率放大 $n$ 倍（$\lambda\to n\lambda$），故 $E(X_{(1)})=$ 原平移 $+\frac{1}{n\lambda}$。

卡方一切性质源于定义"独立 $N(0,1)$ 平方和"。$E(\chi^2(n))=n$（$E(Z^2)=1$）；$D(\chi^2(n))=2n$（$E(Z^4)=3,\ D(Z^2)=2$）。可加性两法：① 构造法（平方和直接拼）；② MGF 法 $M_{\chi^2(k)}(t)=(1-2t)^{-k/2}$，独立和 MGF 相乘 → 指数相加。

$\Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$；$\rho=\dfrac{\Cov}{\sqrt{D(X)D(Y)}}\in[-1,1]$；放缩 $|\Cov|\le\sqrt{D(X)D(Y)}$。

独立时交叉项 $=0$ → $n\sigma^2$，不是 $n^2\sigma^2$（$n^2\sigma^2$ 是 $D(nX)$，常数提取要平方）。